Google Translator

enfrdeitptrues

Ostatnie komentarze

  • Meridith
    Greetings! Very useful advice in this particular post! It's the little changes ...

    Więcej...

     
  • Rebekah
    Hello, constantly i used to check weblog posts here in the early hours in the ...

    Więcej...

     
  • Dave
    Hi there! This article could not be written much better! Going through this article ...

    Więcej...

     
  • .Leszek
    Proszę bardzo :-)

    Więcej...

     
  • emil
    Dziękuję :-)

    Więcej...

Gościmy

Odwiedza nas 98 gości oraz 0 użytkowników.

Odsłon artykułów:
1948802

 

Złota spirala, spirala i szereg Fibonacciego

 

W sensie matematycznym złota spirala jest krzywą. Istnieje jednak wiele rodzajów spiral. Ich ich cechą wspólną jest to, że rozwijają się wokół stałego punktu (zwanego biegunem spirali) zwiększając odległość od niego.
Złota spirala, utworzona według zasady złotego podziału nazywana jest przez matematyków spiralą logarytmiczną lub spiralą równokątną.

"Nazwa 'równokątna' wzięła się stąd, że każda półprosta wychodząca ze środka spirali przecina każdy jej zwój pod tym samym kątem. (...) Spirala równokątna jest figurą samopodobną, tzn. że dowolny jej fragment odpowiednio powiększony (lub pomniejszony) pokrywa się z pewnym innym jej fragmentem (taką własność mają też fraktale).

To właśnie samopodobieństwo tłumaczy, dlaczego taka a nie inna spirala pojawia się na muszlach. Wraz ze wzrostem ciała mięczaka powiększa się również muszla, która go chroni. Organizm staje się coraz większy, ale wciąż zachowuje swój pierwotny kształt. Muszla zachowuje się podobnie.


 

W przeszłości krzywa ta zwana była spira mirabilis (cudowna spirala), a słynny XVII wieczny matematyk szwajcarski Jakub Bernoulli był tak zafascynowany jej własnościami, że życzył sobie, aby została wyryta na jego nagrobku z napisem eadem mutata resurgo (pozostaję ta sama, choć się zmieniam). Tak się (prawie!) stało, choć niestety grawer okazał się kiepskim matematykiem i na grobie uczonego w katedrze w Bazylei widnieje do dziś inna spirala, o równych odstępach między kolejnymi zwojami (zwana spiralą Archimedesa) - patrz zdjęcie obok."

Źródło: http://www.matematyka.wroc.pl/matematykawsztuce/spiralny-swiat-muszli

 

 

Złota spiralę można skonstruować geometrycznie przynajmniej na dwa sposoby - używając do tego złotych trójkątów

 lub złotego prostokąta

spirala w prostokcie


Złota spirala ma tak wiele odniesień, że opisanie ich tutaj zajęłoby bardzo dużo miejsca. Będziemy o niej mówić w dziale Geometria przyrody, geometria człowieka i jest o niej sporo w filmach Dana Wintera. Dlatego  tutaj  wspomnę tylko o dwóch sprawach związanych ze złotą spiralą. Obie pochodzą z twórczości Dana Wintera. Według niego, złota spirala nie jest jedynie abstrakcyjną konstrukcją matematyczną. Jest ona przede wszystkim 1) "mapą" dla idealnej kompresji ładunku elektrycznego, czyli implozji - tekst pod obrazkiem oraz 2) ścieżką, którą (w sposób fraktalny i perfekcyjny) podąża ładunek elektryczny, by ostatecznie wejść do naszej krwi, do DNA, co wiąże się  z pojęciem Świętego Graala. Dzięki temu, że budowa spirali, podobnie jak budowa naszego DNA oparta jest na złotym podziale, możliwe jest wejście energii (ładunku elektrycznego) do DNA. Ów kontakt, jak jeszcze zobaczymy, z pewnej perspektywy oznacza znalezienie Świętego Graala... I faktycznie,  przynajmniej w sensie graficznym, złota spirala obracana wokół swego bieguna tworzy coś, na kształt kielicha, który Dan Winter nazywa "jedynym prawdziwym trójwymiarowym fraktalem" będącym dla niego Świętym  Graalem. Zobacz  dwa fragmenty filmów Dana w wątku Czym jest Święty Graal? (Być może będą one na ten moment jeszcze zbyt hermetyczne, ale nie przesądzam...  Teraz zobaczmy jednak kilka obrazków i animacji złotej spirali.


Złota spirala - widok z góry i z boku



Złota spirala tworzy kielich Graala obracając się wokół swego bieguna
(plik ma 900kb, więc trochę może potrwać nim się załaduje)

Fragment powyższego ruchu spirali w powiększeniu

 

Kielich Graala z naniesionymi na niego złotymi spiralami - w kolorze zielonym ;)

 

Co ciekawe złote spirale opisane na złotym pięciokącie tworzą kształt do złudzenia przypominający kwiat róży... :)

* * *

Już nie tak ładny i romantyczny jak powyższe obrazki,
przykładowy ruch dwóch spiral ukazany w trzech wymiarach.

O Świętym Graalu będziemy mówić jeszcze w dziale Geometria człowieka, podobnie jak o złotej spirali  powiemy jeszcze w dziale Święta geometria w przyrodzie.

 

Spirala i szereg Fibonacciego


Złota spirala jest bardzo podobna do spirali Fibonacciego różni je jednak zasadniczy szczegół. O ile złota spirala zmierza do swego bieguna
(punktu centralnego), ale NIGDY go nie osiąga (biegun ten leży w obszarze nieskończoności), o tyle spirala Fibonacciego zmierza do swego bieguna i go osiąga w punkcie zero. Niektórzy rozpoczynają ciąg Fibonacciego od zera, a inni od liczby jeden - jak ponoć robił to sam Fibonacci. Dla wygodny obliczeń posłużymy się tutaj zerem, pamiętając, że święta geometria zaczyna swe liczenie od jedynki - symbolu Jedni (jedności wszystkiego co istnieje). Tak czy inaczej jeżeli chodzi o złotą spiralę, to jej biegun leży o obszarze nieskończoności i w tym sensie złota spirala nie ma swego początku. Natomiast spirala Fibonacciego ma swój początek leżący w punkcie zero. Nie będziemy tu rozstrzygać  czy początek powinniśmy oznaczać  matematycznie jako 1 (jeden) czy 0 (zero).

 

Zestawienie obu spiral.

Na powyższym rysunku widać, że spirala spirala Fibonacciego wychodzi z nieco innego punktu, ale z czasem zbliża się do Złotej Spirali przecinając ja nieustannie na zasadzie asymptoty, którą zamieszczam w celu lepszego zobrazowania tego zjawiska.

 

Spirala Fibonacciego zbliża się więc do Złotej spirali, ale nigdy się z nią nie pokryje, choć wizualnie  możemy odnieść takie wrażenie.

Stanie się to jaśniejsze, gdy powiemy, że spirala Fibonacciego opiera się na ciągu Fibonacciego, który ma taka właściwość, że wynik dzielenia kolejnej liczby ciągu przez poprzednią liczbę dąży do wartości liczby Phi= 1,6180339... czyli boskiej proporcji.

O ciągu Fibonacciego jest wiele informacji w internecie, np.  http://matma4u.pl/fibonacci-i-zloty-podzial-t1933.html#entry5799 [PL] lub  http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/ [ENG] dlatego ograniczymy się tutaj tylko do tego co niezbędne.

Tak więc, ciąg Fibonacciego jest przykładem ciągu rekurencyjnego, czyli takiego, w którym następny wyraz zależy od poprzedniego. W ciągu (szeregu) Fibonacciego każdy kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich liczb, stąd ciąg Fibonacciego przedstawiać się będzie następująco:


0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc…

 
0+1= 1
1+1= 2
1+2= 3
2+3= 5
3+5= 8
5+8= 13
8+13= 21
13+21= 34
21+34= 55
34+55= 89
55+89= 144
etc... etc...

  

Mając już liczby ciągu Fibonacciego, możemy narysować spiralę Fibonacciego. Rysujemy ją tak samo jak Złotą Spiralę , czyli  łączymy przekątne kolejnych kwadratów prostokąta. Różnica leży w proporcjach prostokąta. Złotą spiralę rysujemy w złotym prostokącie o proporcjach boków 1 x 1.618 natomiast spiralę Fibonacciego rysujemy w prostokącie zbudowanym z kolejnych  kwadratów o długości boków odpowiadającej kolejnym liczbom ciągu Fibonacciego, czyli 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

Rysowanie prostokąta i spirali Fibonacciego wpisanej w ten prostokąt.

zestawmy ten prostokąt ze złotym prostokątem

No cóż, spirale prawie takie same. Nieco się jednak różnią... :)

.

Małe Resume:
Chuck Missler o Ciągu Fibonacciego w naturze i kulturze

.

Na koniec proponuję zobaczyć krótki filmik The Spirit Science - Boska matematyka [PL], który podsumowuje kilka zebranych tu informacji i dodaje kilka nowych.

HEADER 

#81 piotr 2017-04-09 15:15
:-) :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi
#82 Marzanna 2017-06-09 13:52
SUPER dziekuje :-) uwielbiam te wiedze
Cytuj Zgłoś administratorowi
#83 .Leszek 2017-06-13 11:48
Cytuję Marzanna:
SUPER dziekuje :-) uwielbiam te wiedze

You're welcome! :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi
#84 Krystyna 2017-07-12 15:33
Chcialabym sie dowiedziec czy to ma wplyw na relacje w partnerstwie dziekuje!
Cytuj Zgłoś administratorowi
#85 .Leszek 2017-07-12 16:07
Cytuję Krystyna:
Chcialabym sie dowiedziec czy to ma wplyw na relacje w partnerstwie dziekuje!

Uściślij, o co konkretnie pytasz?
Cytuj Zgłoś administratorowi
#86 ewe 2017-07-14 14:03
Prawdy o kwiecie życia: www.youtube.com/watch?v=dqz9P_lv-CM
Cytuj Zgłoś administratorowi
#87 emil 2017-09-11 17:20
Dziękuję :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi
#88 .Leszek 2017-09-15 21:22
Cytuję emil:
Dziękuję :-)

Proszę bardzo :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi

Dodaj komentarz