Google Translator

enfrdeitptrues

Ostatnie komentarze

  • Maciej
    Cudownie, że można poczytać wypowiedzi ludzi o otwartych umysłach. UMYSŁ LUDZKI JEST ...

    Więcej...

     
  • .Leszek
    Proszę bardzo :-)

    Więcej...

     
  • emil
    Dziękuję :-)

    Więcej...

     
  • Monika
    Piąty element to Miłość :-)

    Więcej...

     
  • Kuba
    Piąty element to eter(pole eteru).

    Więcej...

Gościmy

Odwiedza nas 287 gości oraz 0 użytkowników.

Odsłon artykułów:
2038024

Związek liczby Fi z ciągiem Fibonacciego i ciągiem Lucasa.

 

(Temat ten jest częścią opracowania Scott Olsen - Złoty podział w naturze, fizyce, sztuce i architekturze)

 

W trakcie swego wykładu Scott Olsen mówi o związku liczby Fi z ciągiem Fibonacciego i ciągiem Lucasa:

0:28:14 Za każdym razem, gdy masz do czynienia z liczbami Fibonacciego, masz przybliżenie do złotej proporcji.
0:28:20 Natura lubi używać liczb całkowitych, stąd złota proporcja jest przekładna na liczby Fibonacciego i - jak zobaczymy później - na liczby Lucasa.
oraz:
0:49:17 (...) liczby (Lucasa) okazują się być potęgami złotego stosunku (Fi) i jego wielkości odwrotnej (fi) połączonych razem, aż do nieskończoności i odjętych naprzemiennie.
0:49:29 I dają nam one liczby całkowite przyrody (natury). (...)


Związek liczby Fi z ciągiem Fibonacciego.


Napiszmy najpierw czym jest ciąg Fibonacciego.
Ciąg Fibonacciego jest przykładem ciągu rekurencyjnego, czyli takiego, w którym następny wyraz zależy od poprzedniego. W ciągu (szeregu) Fibonacciego każda następna liczba jest sumą dwóch poprzednich liczb.

 

Ciąg Fibonacciego przedstawia się więc następująco:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc…


W jaki sposób ciąg Fibonacciego łączy się z liczbą Fi?

Ciąg Fibonacciego łączy się z liczbą Fi zasadniczo na dwa sposoby.
Pierwszy sposób polega na tym, że wynik dzielenia każdej kolejnej liczby ciągu Fibonacciego przez liczbę ją poprzedzającą dąży do wartości liczby Phi= 1,6180339...
Drugi sposób polega na tym, że każda liczba ciągu Fibonacciego pomnożona przez liczbę Fi= 1,6180339887 daje nam kolejną liczbę tego ciągu. Przy czym, im większą liczbę tego ciągu pomnożymy przez Fi to otrzymamy dokładniejsze przybliżenie kolejnej liczby ciągu Fibonacciego.


Tabelka po lewej ilustruje pierwszy sposób.  Tabelka po prawej ilustruje drugi sposób.      



Związek liczby Fi z liczbami Lucasa (ciągiem Lucasa)

Liczby Lucasa tworzy się w taki sam sposób jak liczby Fibonacciego, tyle, że początkowe dwie liczby to 2 i 1. Każda następna liczba w ciągu Lucasa jest sumą dwóch poprzednich liczb.

Ciąg Lucasa przedstawia się więc następująco:
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, etc.



W jaki sposób ciąg Lucasa łączy się z liczbą Fi?

Odpowiedź jest prosta. Ciąg Lucasa łączy się z liczba Fi w taki sam sposób jak ciąg Fibonacciego, czyli:
- wynik dzielenia każdej kolejnej liczby ciągu Lucasa przez liczbę ją poprzedzającą dąży do wartości liczby Phi= 1,6180339...
- każda liczba ciągu Lucasa pomnożona przez liczbę Fi= 1,6180339887 daje nam kolejną liczbę tego ciągu. Przy czym, im większą liczbę tego ciągu pomnożymy przez Fi to otrzymamy dokładniejsze przybliżenie kolejnej liczby ciągu Lucasa.

Widzieliśmy, jak oblicza się to w przypadku ciągu Fibonacciego, więc każdy samodzielnie może sprawdzić sobie, te zależności.

Liczby Lucasa łączą się jednak z liczbą Fi w jeszcze jeden sposób. I to o tym właśnie sposobie wspomina w swoim wykładzie Scott Olsen. W 49:17 min. wykładu mówi on: "(...) liczby (Lucasa) okazują się być potęgami złotego stosunku (Fi) i jego wielkości odwrotnej (fi) połączonych razem, aż do nieskończoności i odjętych naprzemiennie.

W zdaniu tym chodzi o taką oto logikę:

Gdy weźmiesz kolejną potęgę Fi (1,618...) oraz kolejną potęgę jej odwrotności (0,618...), a potem, na przemian będziesz je odejmować (Fi - fi) lub dodawać(Fi+fi), to ich niewymierne rozwinięcia skasują się i zostawiają pojedynczą całkowitą liczbę, która okazuje się być kolejną liczbą w ciągu Lucasa. (Jedyna rzecz której tutaj brakuje, to początkowa dwójka z ciągu Lucasa. Poza dwójką, która rozpoczyna ciąg (liczby) Lucasa

 

Zależność między liczbą Fi ciągiem Lucasa
  (Fi2)    -/+      (fi2)  

Wynik
dodawania  

Wynik
odejmowania  

Ciąg
Lucasa

1)

1.618033...  -   0.618033... =
  1 1
2)
2.618033...  +  0.381965...
= 3   3
3) 4.236067...  -   0.236067... =   4 4
4) 
6.854101...  +  0.145897... = 7   7
5) 11.090169...  -  0.090169... =   11 11
6) 17,944266...  + 0,055728... = 18   18
7) 29,034430...  -  0,034441...
=   29 29
8) 46,978693... + 0,021286...
= 47

47
9) 76,013118...  -  0,013155...
=
76
76
10) 122,991801.. + 0,008130...
= 123

123


Dodam w tym miejscu jeszcze, że wyniki dzielenia kolejnych liczb ciągu Lucasa przez kolejne liczby ciągu Fibonacciego dążą do pierwiastka kwadratowego z 5 = 2,23606797749...

Ciąg Lucasa 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521
Ciąg Fibonacciego 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
= = = = = = = = = = = = = =
Ciąg Lucasa/ciąg Fibonacciego 0 1 3 2 2,3333 2,2 2,25 2,2307 2,2380 2,2352 2,2363 2,2359 2,2361 2,2360

 

Scott Olsen mówi: "Natura lubi używać liczb całkowitych, stąd złota proporcja jest przekładna na liczby Fibonacciego i (..) na liczby Lucasa."

Po takim stwierdzeniu zwykle pojawia się pytanie: W jaki sposób liczby te obecne są w Naturze?
Pewne odpowiedzi (zweryfikowane lub nie) już istnieją i można je odnaleźć także  w tej witrynie. Zamieszczam tym samym linki do koncepcji
ukazujących obecność liczby Fi i ciągu Fibonacciego w szeroko pojętej Naturze.

Wszechświat i Układ Słoneczny

1) Makrokosmos, mikrokosmos i liczba Phi.
2) Wszechświat jest jak piłka (jako dwunastościan foremny).
3) Pięciokątne cykle Wenus
4) Relacje między planetami Układu Słonecznego, w kontekście geometrycznym, opisał John Martineau w A Little Book of Coincidence

Świat przyrody

5) Fragment książki „Kod Leonarda da Vinci” o liczbie Fi w przyrodzie
6) Filotaksja, czyli złote spirale i ciąg Fibonacciego w przyrodzie
7) Złoty podział i geometria DNA.
8) Miłość i liczba PHI.



PODYSKUTUJ NA FORUM

 P.S  :)

Istnieje także ciekawy związek między ciągiem Fibonacciego i trójkątem Pascala.

Źródło obrazka: http://goldennumber.net/pascal.htm

pascaltriangleanimated2

Źródło

 

HEADER 

#81 piotr 2017-04-09 15:15
:-) :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi
#82 Marzanna 2017-06-09 13:52
SUPER dziekuje :-) uwielbiam te wiedze
Cytuj Zgłoś administratorowi
#83 .Leszek 2017-06-13 11:48
Cytuję Marzanna:
SUPER dziekuje :-) uwielbiam te wiedze

You're welcome! :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi
#84 Krystyna 2017-07-12 15:33
Chcialabym sie dowiedziec czy to ma wplyw na relacje w partnerstwie dziekuje!
Cytuj Zgłoś administratorowi
#85 .Leszek 2017-07-12 16:07
Cytuję Krystyna:
Chcialabym sie dowiedziec czy to ma wplyw na relacje w partnerstwie dziekuje!

Uściślij, o co konkretnie pytasz?
Cytuj Zgłoś administratorowi
#86 ewe 2017-07-14 14:03
Prawdy o kwiecie życia: www.youtube.com/watch?v=dqz9P_lv-CM
Cytuj Zgłoś administratorowi
#87 emil 2017-09-11 17:20
Dziękuję :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi
#88 .Leszek 2017-09-15 21:22
Cytuję emil:
Dziękuję :-)

Proszę bardzo :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi

Dodaj komentarz