Google Translator

enfrdeitptrues

Ostatnie komentarze

  • Maciej
    Cudownie, że można poczytać wypowiedzi ludzi o otwartych umysłach. UMYSŁ LUDZKI JEST ...

    Więcej...

     
  • .Leszek
    Proszę bardzo :-)

    Więcej...

     
  • emil
    Dziękuję :-)

    Więcej...

     
  • Monika
    Piąty element to Miłość :-)

    Więcej...

     
  • Kuba
    Piąty element to eter(pole eteru).

    Więcej...

Gościmy

Odwiedza nas 286 gości oraz 0 użytkowników.

Odsłon artykułów:
2038023

Wstęp

Święta geometria opisuje świat swoim językiem. Poniżej wyróżniono kilkanaście pojęć, którymi ona dziś się posługuje. Pojęcia te pojawią  się w różnych kontekstach, przy opisywaniu człowieka i jego związków ze światem i wszechświatem. Można się z nimi zapoznać już teraz, ale nie trzeba. Jeśli zajdzie potrzeba, zawsze można tutaj wrócić. Niemniej  sugeruję zapoznanie się z tematami: Bryły platońskie, Złoty podział, Złoty prostokąt, złoty trójkąt i pentagram, Złota spirala, spirala i ciąg Fibonacciego, Związek liczby Fi z ciągiem Fibonacciego i ciągiem Lucasa oraz Fraktale...  Jeśli lubisz oglądać ilustracje i animacje, to znajdziesz ich w tym dziale sporo... Tematy zilustrowane są bowiem obficie. W kilku przypadkach także krótkimi filmikami i wyjątkami z wykładów, a w jednym filmem "Ukryty wymiar - fraktale" - o zastosowaniu geometrii fraktalnej w naszym codziennym życiu. Życzę miłych wrażeń :)

 

  1.  Punkt, linia, krzywa, płaszczyzna i brył - wymiary
  2.  Jeszcze o wymiarach
  3.  Wielokąty foremne i bryły platońskie
  4.  Bryły platońskie - stellacje, duale, inne przekształcenia
  5.  Symetria, stosunek i proporcja
  6.  Kwiat życia
  7.  Sześcian Metatrona
  8.  Gwiezdna Matka
  9.  Złoty podział
  10. Złoty prostokąt, złoty trójkąt i pentagram
  11. Trójkąt prostokątny i liczba Fi
  12. Złota spirala, spirala i ciąg Fibonacciego
  13. Związek liczby Fi z ciągiem Fibonacciego i ciągiem Lucasa
  14. Sześcio-ośmiościan i "jitterbug" Buckminster Fullera
  15. Torus i alfabet.
  16. Fraktal

 


 

Punkt, linia, krzywa, płaszczyzna i bryła - wymiary

 

1. Przedmioty, czyli ciała materialne, które nas otaczają bądź to w pokoju, bądź na ulicach miasta, odznaczają się najróżnorodniejszymi cechami, wszystkie one mają jednak jedną cechę wspólną - zwaną rozciągłością - mianowicie, każde z nich zajmuje pewną część przestrzeni. Tę właśnie część przestrzeni, którą zajmuje przedmiot, nazywamy bryłą geometryczną. Rozróżniamy trzy wymiary bryły: długość, szerokość i wysokość. Widzimy je bez trudu w pokoju, łatwo spostrzegamy wymiary pudełka, skrzyni itp. Wysokość nazywamy niekiedy głębokością, np. głębokość studni; zamiast o szerokości mówimy o grubości muru.

2. Bryła jest oddzielona od innej bryły lub od otaczającej je przestrzeni powierzchniami. Sala, w której się znajdujemy, jest oddzielona od pozostałej części gmachu czterema ścianami, posadzką i sufitem. Budynek szkolny jest oddzielony, tj. ograniczony od otaczającej go przestrzeni, powierzchniami ścian zewnętrznych, powierzchnią ziemi oraz dachu.

3. Powierzchnia ma dwa wymiary: długość i szerokość.

4. Linia ma tylko jeden wymiar - długość.

5. Bryły, powierzchnie, linie i punkty, nazywane są figurami geometrycznymi.

Punkt poruszający się w przestrzeni kreśli linię, np. obserwując niebo w pogodną noc sierpniową, widzimy często srebrnoświetlne linie powstałe przez spadające gwiazdy.

Linia, kiedy porusza się w przestrzeni, zakreśla powierzchnię, np. koło szybko biegnącego wozu robi wrażenie pokrytego powierzchnią, powstałą przez ruch szprych kołowych.

Wreszcie przez ciągły ruch powierzchni możemy otrzymać ciało geometryczne, czyli bryłę. Rozżarzona do czerwoności blacha żelazna, spadając w ciemności z góry na dół, daje wyobrażenie ciała geometrycznego w postaci czerwonego słupa.

Można więc powiedzieć, że istnieje jeden zasadniczy twór geometryczny, mianowicie punkt (bezwymiarowy), przez ruch którego powstaje twór jednowymiarowy - zwany linią, przez ruch linii powstaje twór dwuwymiarowy - powierzchnia, wreszcie przez ruch powierzchni twór trójwymiarowy zwany bryłą. (...)

Jakkolwiek powierzchni nie możemy w rzeczywistości oderwać od bryły, linii od powierzchni, a punktu od linii, to jednak dla dokładniejszego zbadania ich własności można potraktować je w geometrii niezależnie od podstawowej figury geometrycznej, do której należą.

Opracowano na podstawie: Jan Zydler: Geometria

Zobacz co o tych podstawowych wymiarach mówi Nassim Haramein.

Jest to fragment wykładu Przekroczyć Horyzont Zdarzeń część 1.0 (3:40 - 9:40 min)

Cały wykład Nassima

PODYSKUTUJ NA FORUM

 

Zobacz też krótki fragment wykładu Chucka Misslera pt.
"Return Of The Nephilim" dotyczący m.in. pojęcia hiperprzestrzeni.

Cały film do obejrzenia na kanale You Tube - STARSHIELDER

 

Jeżeli masz niedosyt, to zobacz: 
Czym jest pentagram w czterech wymiarach?

 

 


 

Jeszcze o wymiarach

 

O podstawowych wymiarach była mowa w pierwszym i będzie mowa w ostatnim  podpunkcie tego działu, gdzie najdziesz film o fraktalach jako "ukrytym wymiarze" rzeczywistości. W tym miejscu  pojęcie wymiaru zostanie potraktowane bardzo obrazowo, bez wgłębiania się w zawiłe teorie na temat wymiarów. Każdy chętny z pewnością znajdzie coś na ten temat choćby w internecie. Zacznę więc od razu od informacji o filmie animowanym pt. "Flatland" (Płaskolandia). Film ten doczekał się pozytywnej recenzji ze strony Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego, które poleca go do obejrzenia zarówno dzieciom jak dorosłym, a jego bohaterami są... figury geometryczne.

 

 

Film przedstawia świat, który ma tylko dwa wymiary. Żyją w nim trójkąty, kwadraty, pięciokąty i inne figury. Nie ma w nim żadnej wysokości. Jest tylko długość i szerokość...

Zamieszczam poniżej filmik streszczający ideę filmu Flatland oraz dwa krótkie fragmenty o wymiarach z filmu Flatland.

 

Dr Quantum - Wizyta w Paskolandii [PL]

Ludzie żyją w trzech wymiarach (3D)... A może jest więcej wymiarów, tylko większość z nas
zachowuje się jak ów mały "płaszczak" żyjący w rzeczywistości dwuwymiarowej?

 

Dwa fragmenty z animowanego filmu Flatland, obrazujące różnice między wymiarami.

W Płaskolandii pojawia się kula ze świata trójwymiarowego, aby zaświadczyć o istnieniu innego wymiaru,
którego mieszkańcy Płaskolandii nie znają, ale który czasem im się śni....

A-Kwadrat (mieszkaniec Płaskolandii) zostaje zabrany do świata,
którego nigdy dotąd nie widział - do świata trzech wymiarów...

Cały film znajdziesz tutaj

 

Książka, na podstawie której opracowano scenariusz filmu.


http://press.princeton.edu/titles/4774.html


Książeczka w wersji on-line
(w j. angielskim)
"Flatland: A Romance of Many Dimensions
With Illustrations by the Author, A SQUARE"

 


 

Świat dwuwymiarowy i trójwymiarowy w obrazach


Kula w dwóch i trzech wymiarach



http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/stereo-projection/welcome.html


Sześcian w dwóch i
trzech wymiarach



http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/cube-flatland/welcome.html

 

Ćwiczenie wyobraźni przestrzennej ;)
Światło pada zza twojego monitora...



http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/cube-slices/cube-face.html

Źródło rysunków

  

Świat dwuwymiarowy, trójwymiarowy oraz... cienie świata czterowymiarowego "naszych" trzech wymiarach.

Cień (rzut) trójwymiarowego sześcianu na płaszczyźnie (statyczny i dynamiczny)

Cień (rzut) zwijanego trójwymiarowego sześcianu na płaszczyźnie (statyczny i dynamiczny)


Cień (rzut) czterowymiarowego sześcianu (hipersześcianu) w trzech wymiarach (statyczny i dynamiczny)

Tu można obracać powyższy hipersześcian klatka po klatce


Cień (rzut) zwijanego czterowymiarowego sześcianu (hipersześcianu) w trzech wymiarach (statyczny i dynamiczny)

Linki:
http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/rotation/welcome.html
http://www.math.union.edu/~dpvc/Math/4D/folding/welcome.html
Link zbiorczy do rysunków
Salvador Dali: Ukrzyżowanie (Corpus Hypercubus)


Hipersześcian w filmie Cube 2

O filmie.

"W sześcianach budzą się przerażone osoby. Nie pamiętają, jak się tu znalazły. Jest ich ósemka, w końcu spotykają się w jednym pomieszczeniu. Są wśród nich: starszy mężczyzna – pułkownik Maguire, inżynier elektryk Jerry, psychoterapeutka Kate, niewidoma nastolatka Sasza, projektant gier komputerowych Max,, prawniczka Julia i emerytka pani Paley. Chcą wydostać się z matni, wędrują wiec od sześcianu do sześcianu, starając się uniknąć pułapek. Nie pomaga numerowanie włazów – zawsze trafiają do trzech, tych samych sal. Niebawem okazuje się, że znajdują się w teserakcie – hipersześcianie, który istnieje w czterech wymiarach, do tej pory funkcjonujący tylko w teorii. Dodatkowym wymiarem jest Czas, upływający jednak w sposób przeczący znanym prawom fizyki. Rzeczywistość i czas są subiektywne, zaś przestrzeń nie ograniczona. Należy znaleźć odpowiedni moment zbiegnięcia się czterech płaszczyzn, by wydostać się z pułapki…"

 

 PODYSKUTUJ NA FORUM

 


 

Wielokąty i bryły platońskie

 

Bryły platońskie składają się z powierzchni ograniczonych liniami prostymi. Powierzchnie te w przypadku brył platońskich nazywamy wielokątami foremnymi. Przytoczmy ich definicje.

Wielokąt to spójny obszar powierzchni dwuwymiarowej, ograniczony przez zamkniętą krzywą złożoną z co najmniej trzech punktów (wierzchołków wielokąta) połączonych odcinkami (bokami wielokąta).

Wielokąt foremny - to wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielok%C4%85t_foremny


Chciałbym wymienić tu trzy wielokąty foremne: trójkąt, kwadrat i pięciokąt, gdyż to właśnie  z nich zbudowane (złożone) są wielościany foremne, czyli tzw. bryły platońskie będące wyczerpującym zestawem wielościanów foremnych (wyczerpującym, bo  istnieje tylko pięć wielościanów foremnych). Wielościany foremne to bryły, których wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w których z każdego wierzchołka wychodzi tyle samo krawędzi.


Pojedynczy wielokąt (trójkąt równoboczny) daje się złożyć w wielościan - czworościan foremny.
Inne wielościany tworzymy poprzez dodawanie do siebie kolejnych wielokątnych ścian.

Tak więc z trójkątów równobocznych złożyć można trzy bryły idealne - tetraedr (czworościan foremny), oktaedr (ośmiościan foremny), ikosaedr (dwudziestościan foremny). Z kwadratów można złożyć heksaedr (sześcian). Istnieje wreszcie piąta bryła foremna - dodekaedr, zbudowana z 12 pięciokątów regularnych, którą Platon uznał za zespolenie całości, bryłę łączącą wszystkie elementy.
Dla Platona bryły te miały zasadnicze znaczenie, uznawał bowiem, że materia zbudowana jest z całostek i nie jest podzielna, a całostki te mają charakter idealny. Nie są bowiem ciałami stałymi, lecz figurami geometrycznymi. Idealną najprostszą figurą geometryczną jest trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych. Według Platona trójkąty są najprostszym elementem budulcowym, podstawową cegiełką, z której zbudowany jest Kosmos. Platon uznał, że cała rzeczywistość jest zorganizowana jako odbicie owych podstawowych figur geometrycznych, jako form najdoskonalszych.

Na podstawie: 2008 Mariusz Śliwiński

Więcej o wielościanach foremnych.

Bryły platońskie nieco artystycznie.

Dwunastościan na obrazie "Ostatnia wieczerza" Salvadora Dali.

Źródło: http://www.ellensplace.net/dali.html


Bryły platońskie
(ze ścianami i bez ścian) narysowane przez Leonarda Da Vinci do książki Luca Pacioli pt. Boska Proporcja (1509r)

Dwunastościan i dwudziestościan

Ośmiościan i sześcian

Czworościan

Poniżej: studium fontanny Loenarda Da Vinci
(w środku m.in. czworościan wpisany w sześcian)
Leonardo Da Vinci - Sześciany

Źródło: http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/leonardo.html

Wielościany i twierdzenie Eulera
Warto przypomnieć, że każda struktura w przestrzeni trójwymiarowej składa się z trzech podstawowych elementów: wierzchołków, krawędzi i ścian. Leżą one u podstaw każdej geometrycznej analizy i przy ich pomocy można opisać dowolny wielościan.  Osiemnastowieczny matematyk Leonard Euler pozostawił po sobie twierdzenie o wielościanach wypukłych opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędziami wielościanu.
Brzmi ono tak:
Liczba wierzchołków (W) plus liczba ścian (Ś) RÓWNA SIĘ liczbie krawędzi (K) plus dwa.
W + Ś = K + 2

gdzie
W — liczba wierzchołków
Ś — liczba ścian
K — liczba krawędzi

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Eulera_o_wielo%C5%9Bcianach

Każdy wielościan podlega temu prawu.


Poniżej wszystkie bryły platońskie wraz z ich wierzchołkami, krawędziami i ścianami.
Wszystkie ich ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i w każdym wierzchołku spotyka się taka sama liczba ścian.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_foremny

 

Bryły platońskie w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa z wprowadzonym kartezjańskim układem współrzędnych

Taka przestrzeń (tzw. przestrzeń kartezjańska), jest wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej
- pozwala zapisywać twierdzenia geometryczne i ich dowody jako działania na liczbach.
Zwykle mówiąc o przestrzeni euklidesowej ma się na myśli właśnie ten jej model.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa

W geometrii euklidesowej w przestrzeni trójwymiarowej istnieje tylko pięć wielościanów foremnych (tzw. brył platońskich).
Tak prezentują się w przestrzeni trójwymiarowej (ze ścianami).

Czworościan* |      Sześcian          |      Ośmiościan       |   Dwunastościan   |   Dwudziestościan.


Tylko krawędzie i wierzchołki brył (bez ścian)



Kilkadziesiąt lat temu znaleziono na terenie Szkocji bryły wykonane z kamienia, które do złudzenia przypominają platońskie bryły. Ich wiek datuje się na co najmniej 3 tys. lat. Są więc starsze od Platona (428-348 p.n.e.) o co najmniej o 500 lat... Kamienne bryły znajdują się w "Ashmolean Museum", w Oxford w Anglii. Oto one: 

 

14 platonicsolidsashmoleanbr3

Dwunastościan i dwudziestościan z brązu z czasów rzymskich, których przeznaczenie nie jest znane.



Źródło: http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/roman_dodecahedra.html

Obliczenia Buckminster Fullera

Zamieszczone w poniższej tabeli sumy kątów wyliczył Buckminster Fuller, sugerując, że istnieje wewnętrzny związek pomiędzy poszczególnymi przedstawionymi w niej figurami (głównie bryłami platońskimi) Związek ten widać jeszcze wyraźniej, gdy sumy kątów poddamy redukcji numerologicznej*
di-8TEM.gif

 

* Redukcja numerologiczna "jest to technika, wymyślona przez Pitagorasa, dzięki której każdą liczbę możemy przedstawić przy pomocy jednej cyfry. Metoda polega na sumowaniu cyfr, z których składa się liczba, do momentu otrzymania pojedynczej cyfry."

np.     64=6+4=10=1+0=1

np.   128=1+2+8=11=1+1=2

np. 4069=4+0+6+9=19=1+9=10=1+0=1

Pitagoras oparł swój system numerologiczny na cyfrach od 1 do 9, ponieważ wszystkie liczby powyżej 9 dało się zredukować cyfr podstawowych - od 1 do 9. Redukcja taka wykorzystywana jest przez współczesnych numerologów.

 

Szablony pięciu brył platońskich znajdziesz tutaj

* na animacji widnieje czworościan wpisany w sześcian. Taki przykład wklejono do Wikipedii...

Link do źródeł animacji

 

PODYSKUTUJ NA FORUM

 


 

Bryły platońskie  - stellacje, duale, inne przekształcenia

 

Stellacja, czyli rozgwieżdżanie

Pod pojęciem stożkowania (ang. stellation, w języku polskim używa się też czasem określenia "rozgwieżdżanie" lub "stellacja") należy rozumieć proces przedłużania ścian danego wielościanu aż do ich ponownego przecięcia. W wyniku stożkowania na bazie wyjściowego wielościanu powstają nowe wielościany, których ściany przecinając się, tworzą gwiaździstą strukturę. Pod pojęciem stożkowania można rozumieć również wielościan powstały w wyniku wspomnianego procesu.

Mówi się także o stellacji dwuwymiarowej, czyli rozgwieżdżaniu wielokątów na płaszczyźnie. Dwa poniższe przykłady - pięciokąta i sześciokąta foremnego obrazują ideę rozgwieżdżania wielokątów na płaszczyźnie poprzez przedłużanie ich boków.

Stellacja (przedłużanie boków) pięciokąta foremnego tworzy pentagram.

Stellacja (przedłużanie boków) sześciokąta foremnego tworzy heksagram.

Stellacje (stożkowania) brył platońskich

Brył platońskich jest pięć, ale w zależności od stopnia skomplikowania swojej budowy, mogą nie mieć wcale, mogą mieć kilka, kilka lub nawet kilkadziesiąt możliwych stożkowań.

Czworościan foremny i sześcian nie mają żadnych stożkowań. Przedłużanie ich ścian lub krawędzi nie daje nowych przecięć.

Stellacja ośmiościanu foremnego (rys. 1).

Trzy ściany otaczające daną ścianę po przedłużeniu utworzą nad nią czworościan foremny (rys. 2).

Rys. 1                              Rys. 2

Zastosowanie tego procesu do wszystkich ścian prowadzi do formy gwiaździstej ośmiościanu (rys. 3 i 4). Jest to stella octangula - znana kompozycja dwóch czworościanów foremnych (rys. 3 i 4). Sama nazwa stella octangula (gwiazda ośmioramienna) znana jest od czasów Keplera. Jednak bryłę tą znano już wcześniej. Po raz pierwszy opisał ją w 1509 roku w swoim dziele De divina proportione  (boska proporcja) Luca Pacioli, a jej pierwszy "portret" wyszedł spod ręki Leonarda da Vinci. Wtedy nazywano ją  octaedron elevatus (ośmiościan dobudowany), gdyż można ją otrzymać także w wyniku doklejenia czworościanu foremnego do każdej ściany ośmiościanu foremnego.

 


Rys. 3                                              Rys. 4                      

Stellacja dwunastościanu foremnego (rys. 5). Pierwszy krok to zbudowanie piramid nad każdą ścianą tego wielościanu (rys. 6). W wyniku tego powstanie wielościan, którego ściany są pentagramami (rys. 7), będący jednym z wielościanów Keplera-Poinsota (to dwunastościan gwiaździsty mały).

Pierwszy krok to zbudowanie piramid nad każdą ścianą tego wielościanu (rys. 6). W wyniku tego powstanie wielościan, którego ściany są pentagramami (rys. 7), będący jednym z wielościanów Keplera-Poinsota (to dwunastościan gwiaździsty mały).

Rys. 5                            Rys. 6                          Rys. 7

 Uzupełnienie pentagramów do pięciokątów foremnych prowadzi do kolejnego stożkowania dwunastościanu. Otrzymujemy kolejny wielościan Keplera-Poinsota - dwunastościan wielki (rys. 8). W ostatnim kroku możemy przedłużyć trzy ściany otaczające każde z trójściennych zagłębień (rys. 9). W wyniku tego otrzymamy ostatnią gwiaździstą formę dwunastościanu (rys. 10). Również i ten wielościan jest jednym z wielościanów Keplera-Poinsota (to dwunastościan gwiaździsty wielki).

Rys. 8                            Rys. 9                        Rys. 10

Do przedstawiania stożkowań używa się specjalnego diagramu, pokazującego efekt kolejnego przedłużania krawędzi zadanej ściany wyjściowego wielościanu. Diagram ten dla dwunastościanu foremnego wygląda tak, jak na rys. 11. Liczba 0 oznacza ścianę bryły wyjściowej, 1 to ściana dwunastościanu gwiaździstego małego, 2 - dwunastościanu wielkiego i wreszcie 3 - dwunastościanu gwiaździstego wielkiego.


Rys. 11

Pozostał problem stożkowania ostatniego z wielościanów platońskich - dwudziestościanu foremnego (rys. 12). Pierwszy krok można wykonać stosunkowo łatwo. Podobnie jak wcześniej nad każdą ze ścian powstanie ostrosłup. Kąt dwuścienny między ścianami dwudziestościanu ma stosunkowo dużą miarę (około 138,19°), więc ostrosłupy te będą dość płaskie. Ich ściany będą nachylone do podstawy pod kątem około 41,81° (dlaczego?). Cały wielościan gwiaździsty będzie składał się z 20 nieforemnych sześciokątów (rys. 13, 14).

Rys. 12                           Rys. 13                          Rys. 14

Przedłużenie tych ścian w odpowiedni sposób daje kolejną stellację dwudziestościanu (rys. 15). Tym razem ściany są układami dwóch trójkątów równobocznych (rys. 16), a cała bryła jest kompozycją 5 ośmiościanów foremnych (rys. 17).

Rys. 15                           Rys. 16                          Rys. 17

Źródło: http://www.matematyka.wroc.pl/book/co-to-jest-sto%C5%BCkowanie-2

 

 

Platońskie wielościany jako duale.

Wielościany foremne (platońskie) można pogrupować w dualne pary, z wyjątkiem czworościanu foremnego, który jest dualny sam ze sobą. Dualami są dla siebie sześcian i ośmiościan foremny oraz dwunastościan i dwudziestościan foremny.
Definicyjnie, wielościan foremny jest dualem dla innego wielościanu foremnego wtedy, gdy łącząc liniami prostymi środki ścian jednego wielościanu, otrzymamy wierzchołki drugiego wielościanu.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_dualny

 

Inne przekształcenia brył platońskich

Animacje wykonał Lucyfer z  forum o świętej geometrii na podstawie animacji
ze strony http://virtualmathmuseum.org/Polyhedra/index.html Dzięki! :)

 

Czworościan - sześcian - czworościan
tetra cube

Ośmiościan - sześcio-ośmiościan - ośmiościan
cube cube octa transform
Sześcian - dwunastościan - sześcian
dodeca cube transform

 

PODYSKUTUJ NA FORUM


 

Symetria, stosunek i proporcja

 

Najogólniej symetria jest pewnym  geometrycznym odwzorowaniem punktu, prostej, płaszczyzny lub bryły.

Ograniczymy się tutaj jedynie do krótkiego zdefiniowania symetrii na płaszczyźnie, aby uchwycić ideę pojęcia symetrii.

Tak więc "istnieją dwa rodzaje symetrii (...) na płaszczyźnie: symetria względem prostej (symetria osiowa) i względem punktu (symetria środkowa). Prosta nazywana jest wtedy osią symetrii, a punkt środkiem symetrii.

Dwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danej osi, jeżeli leżą na odcinku prostopadłym do osi i są od niej równo oddalone. (Jakby na zasadzie lustrzanego odbicia...)


Dwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danego punktu, jako środka, jeżeli leżą na prostej, przechodzącej przez ten punkt i są jednakowo od niego oddalone.

Na podst: Jan Zydler - Geometria.

 

PRZYKŁADY SYMETRII OSIOWEJ

 PRZYKŁADY SYMETRII ŚRODKOWEJ

 

Link do źródła rysunków

Dla chętnych: Grupa symetrii

 

Stosunek i proporcja

Jako, że słowo proporcja i stosunek często są mylone, wprowadźmy rozróżnienie między tymi pojęciami, gdyż oznaczają one nieco inne rzeczy. Nie musisz się w to wgryzać. Podajemy to dla formalnego porządku.

Najkrócej stosunek jest to odniesienie jednej wartości do drugiej,  a proporcja jest to odniesienie siebie dwóch stosunków.

Z Wikipedii

Stosunek - "odniesienie jednej wartości do drugiej. Zapisywany jest często w postaci zwykłego dzielenia lub ułamka.

2017 02 02 112820s

Przykład.

Jeśli mamy trzy ciastka i cztery osoby, to mówimy, że trzy ciastka przypadają na cztery osoby i jest to stosunek 3:4. Stosunek jest częścią proporcji.

Proporcja jest to relacja między dwoma stosunkami. Cytuję (za Jan Zydler - Geometria) :

"Jeżeli stosunek dwóch liczb a i b jest równy stosunkowi dwóch innych liczb c i d, to możemy te dwa stosunki połączyć znakiem = pisząc:

a : b = c : d

 i powiedzieć, że dane cztery liczby tworzą proporcję.

 

Proporcja ta wyraża, że pierwsza z danych liczb jest tyle razy większa (względnie mniejsza) od drugiej, ile razy trzecia jest większa (względnie mniejsza) od czwartej. Tak np. cztery liczby: 15, 5, 12 i 4 tworzą proporcję:

15 : 5 = 12 : 4,

dlatego że stosunek 15 : 5 jest równy stosunkowi 12 : 4."

Proporcję możemy zapisać na dwa sposoby. Jeśli zapisujemy ją w postaci

a : b = c : d

to wyrazy  a i d nazywamy wyrazami skrajnymib i c – wyrazami środkowymi.

Jeśli przedstawiamy proporcję w postaci ułamka, to wstawiamy po prostu liczby do licznika i mianownika.

Przykładowo, jeśli jeden bukiet kwiatów składa się z jednej białej i dwóch czerwonych róż, a drugi bukiet z dwóch białych i czterech czerwonych róż, to ilość białych i czerwonych róż w tych bukietach zwiększa się proporcjonalnie. ;)

Tutaj możesz pobawić się w odgadywanie proporcji.

Zabawa jest prosta. Kliknij w powyższy link i na stronie docelowej wpisz w puste pole odpowiednią cyfrę, aby uzyskać proporcję. Następnie kliknij klawisz "Submit".

Jeśli podasz błędną odpowiedź program poda Ci właściwe rozwiązanie. Możesz wówczas poprosić go o wyjaśnienie dlaczego właściwa odpowiedź jest taka, jaką pokazuje program - kliknij wówczas klawisz "Explanation"


 

PODYSKUTUJ NA FORUM

 

 


 

Kwiat Życia

 

Na okładce pierwszego tomu Pradawna tajemnica kwiatu życia Drunvalo Melchizedeka czytamy:

"Dawniej wszystko, co istnieje we wszechświecie znało Kwiat Życia jako wzór stworzenia, wykres geometryczny wiodący do egzystencji fizycznej i wyprowadzający z tej egzystencji. (...) Sekret Kwiatu Życia przetrwał jednak tysiące lat wyryty na ścianach starożytnych budowli na całym świecie, wpisany w żywe komórki wszelkiego istnienia."

Nazywa się go kwiatem ponieważ reprezentuje on cykl wegetacji. W środku Kwiatu Życia znajduje się siedem połączonych ze sobą kół, zwanych ziarnem życia. Z ziarna powstaje kwiat, a kwiat rodzi owoc. Według Melchizedeka Kwiat Życia zawiera w sobie wszystkie formuły matematyki, każde prawo fizyki, harmonię muzyczną i każdą biologiczną formę życia, łącznie z ludzkim ciałem. Znajdziemy w nim także platońskie bryły, będące wzorcami dla wszystkich atomów, pierwiastków, poziomów, wymiarów, dla wszystkiego co istnieje we wszechświecie w formie fal.

Jako, że pojęcie Kwiatu Życia rozpowszechnił na świecie Drunvalo Melchizedek, przedstawimy poniżej jego geometryczne schematy opisujące jeżykiem abstrakcji 1) jak powstał wszechświat, 2) jak rysuje się ziarno, kwiat i owoc życia powstał oraz 3) w jaki sposób Kwiat Życia zawiera w sobie platońskie bryły - geometryczne wzorce stworzenia. Tylko w jednym miejscu pozwolę sobie zmodyfikować nieco wywód Melchizedeka - w miejscu dotyczącym sposobu rysowania dwunastościanu na siatce Kwiatu Życia.

 

Jak powstaje Kwiat Życia?

Zacznijmy od absolutnego początku ;)

Drunvalo Melchizedek pisze w "Pradawnej Tajemnicy Kwiatu Życia":

"Z punktu widzenia fizyki lub matematyki ruch sam w sobie, czy też energia kinetyczna, nie może pojawić się w próżni. Nie może nawet wirować, bowiem najmniejszy ruch potrzebuje przynajmniej jednego obiektu w przestrzeni oprócz was samych. Musi istnieć coś, wokół czego, czy też w stosunku do czego, można wykonać ruch. Jeśli taki obiekt nie istnieje, nie wiemy, że się ruszamy. Gdybyście unieśli się dziesięć metrów w górę, o skąd byście o tym wiedzieli? Nic by się nie zmieniło. Jeśli nic się nie mienia, nie ma ruchu."

Na początku jest więc tylko duch. Nie ma nawet przestrzeni. Duch (jego graficznym symbolem jest punkt) stwarza najpierw przestrzeń, aby cokolwiek mogło się w niej potem objawić.

Komentarz: Drunvalo Melchizedek posługuje się w swoim opisie pojęciem "Duch". W tej samej stylistyce można mówić tutaj o "pierwotnej zasadzie stwórczej", "pierwszym poruszycielu" czy też "architekcie wszechświata" który kreśli wszechświat...


William Blake - Stworzenie świata (1824)

Jeśli jednak chcesz spojrzeć na sprawę czysto matematycznie, bez nadawania liczbom i figurom jakichś dodatkowych znaczeń, to potraktuj poniższe obrazki jako symboliczne formy - wyraz matematyczno-geometrycznego podejścia do opisu wszechświata. Po prostu bierzesz cyrkiel, ekierkę, ołówek i rysujesz... Jak się jednak okaże określone formy geometryczne, jak choćby torus, spirala i czworościan będą leżały u podstaw konstrukcji świętych alfabetów, które sterują przepływem energii. Zobacz fragment wykładu Dana Wintera z Barcelony. Jeśli z różnych względów wyda Ci się on teraz nieco zawiły,  możesz powrócić do niego po jakimś czasie... ;)

Teraz możemy już wyruszyć w stwórczą podróż.

"Duch" na początku tworzy sferę, i podziwia swoje dzieło ;)



Następnie, gdy sfera jest gotowa (mamy już dwa miejsca - punkt wyjścia i powierzchnię sfery) Duch przemieszcza się na powierzchnię i tworzy drugą sferę - identyczną jak pierwsza.

Wraz z powstaniem drugiej sfery, powstaje kształt zwany Vesica Piscis, uważany za "łono wszechświata", z którego promieniuje światło. "I stała się światłość."... Co ciekawe można znaleźć wiele obrazków zawierających taką lub inną symbolikę, która wiąże się z kształtem Vesicy Piscis. Oto kilka z nich:

05 kr8vesicapiscisresizeol7 masonic2 <--- Mgławica Hourglass

<--- symbol Chrześcijan

Mówiąc bardziej naukowo, kiedy połączymy ze sobą cztery punkty Vesicy (środki okręgów i miejsca przecięcia się okręgów, otrzymamy krzyż, który można uznać za podstawę światła, rozumianego jako całe spektrum fali elektromagnetycznej, gdyż oba składniki tej fali (elektryczny i magnetyczny) rozchodzą się przenikając się wzajemnie pod kątem 90 stopni. W życiu codziennym człowiek uznaje za światło tylko maleńki wycinek całego spektrum fali elektromagnetycznej. Czyni tak, ponieważ utożsamia światło z tym, co widzi jego oko.


Poniżej: spektrum (fali) promieniowania elektromagnetycznego.
22kr99999999resizevq3


Poziomy rzeczywistości odpowiadające poszczególnym częstotliwościom promieniowania elektromagnetycznego.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Promieniowanie_elektromagnetyczne

 

Poniżej zamieszczam animację złotej spirali tworzącą Vesicę Piscis.
Zamieszczam ją ze względu na ładną wizję artystyczną. Czy tylko artystyczną? ;)


Stop-klatki i z powyższej animacji

 

Zamieszczam także GIF-a pokazującego w jaki sposób z Vesici Piscis (owo łono wszechświata, przypominające kształtem także łono kobiety) można utworzyć "galaktykę" ;) JEDNAK UWAGA! na poniższej animacji A/B NIE RÓWNA się 1,6180339... tylko 1,732, czyli pierwiastek z trzech i powstający prostokąt także także opiera się na pierwiastku z trzech. Tak się dzieje, gdy budujemy prostokąt (w przedstawiony poniżej sposób) w oparciu o Vesice Piscis. Trzeba jednak dodać, że animacja NIE JEST dokładna. Ma charakter poglądowy, gdyż nie pokazuje dokładnej Vesicy Piscis. Być może ktoś zechce zrobić analogiczną z dokładną Vesicą i z prostokątem z pierwiastka z trzech ;)

Poprawne są proporcje pokazane na filmiku Geometry of life cz. 2/4

.

 

Na podstawie animacji "Sacred Geometry and The Phi Ratio" - zobacz: Vesica Piscis i Pierwiastek z trzech

 

Następnie duch porusza się według określonego wzoru - zawsze zmierza do punktu, który leży jak najbliżej środkowej sfery. Nasz idzie w dół i tworzy trzecią sferę.
<- Tzw. "Tripod of Life"

Dwa komentarze:

1) W powyższe trzy sfery wpisałem trójkąt, aby zasygnalizować, że wraz z tworzenie kolejnych sfer umożliwia tworzenie kolejnych figur geometrycznych, które (w swych kształtach i proporcjach) zawierają określone kody informacyjne. Narysowany wyżej trójkąt równoboczny (czworościan foremny w 3D) zawiera w sobie np. informacje o proporcjach tworzących harmonię w muzyce. Zobacz Harmonia sfer (dźwięk)

2) Tzw. "Tripod of Life" (Podstawa Życia?) przypomina do złudzenia stworzony przez naukowców "węzeł światła".

 
Po raz pierwszy naukowcom udało się zawiązać światło na supeł. Sukces ten jest osiągnięciem fizyków skupionych wokół Marka Dennisa z Bristol University. Nowe badanie jest fizycznym zastosowaniem teorii węzłów. Według naukowców promienie światła udało się zawiązać w węzeł, oddziałując na promieniowanie wyjściowe za pomocą specjalnie opracowanych hologramów.

Źródło: http://www.focus.pl/newsy/zobacz/publikacje/wezel-ze-swiatla/

 

Duch przesuwa się dalej i tworzy kolejne sfery wchodząc tym samym w ruch wirowy.

22kr99999999resizevq3

Gdy zatacza pierwszy pełny obrót 360 stopni, rysuje łącznie siedem sfer -  tyle ile dni trwa opisane w Biblii stwarzanie świata. Te sześć sfer opisanych na jednej środkowej sferze tworzy pierwszy statyczny kształt nazwany Wzorcem Genesis czy też Ziarnem Życia. Poniżej Ziarno Życia w kolorze oraz w... izraelskim muzeum i duńskim kościele.


Źródło: http://www.floweroflife.org/folindia.htm

Rysunki Leonarda da Vinci z książki  L. Reti (Ed.), The Unknown Leonardo, McGraw-Hill Book Company, Toronto (1974).

Inne rysunki: http://home.cc.umanitoba.ca/~gunderso/pages/da_vinci_models/da_vinci_drawings.htm

Według Melchizedeka trójwymiarowy Wzorzec Genesis puszczony w ruch wirowy tworzy w wyniku rotacji wokół swej centralnej osi torus, przypominający pączek z dziurką w środku. Na poniższym obrazku nałożono na siebie dwa Wzorce Genesis. Jeden pozostał w miejscu, a drugi obrócono o 30 stopni wokół sfery środkowej, aby ukazać jego ruch. Warto może nadmienić, że jeden obrót Wzorca o 30 stopni tworzy 12 nakładających się na siebie sfer wokół jednej sfery centralnej.


Rysunek torusa zawiera w środku statyczną sferę swój pierwotny wzorzec wyjściowy.

Modele torusów najczęściej posiadają taki kształt jak poniżej. Ten ukazuje dodatkowo sposób przepływu energii.


Duch może wędrować wokół sfery wyjściowej w nieskończoność, rysując (od punktu do punktu) kolejne sfery i zakreślając nimi coraz większą przestrzeń. W interpretacji Melchizedeka wędrówka ducha kończy się po pięciu pełnych obrotach ducha wokół pierwotnej sfery wyjściowej. Dopiero wówczas bowiem duch tworzy matrycę, dzięki której można zbudować

Tak więc duch dokonuje drugiego pełnego obrotu wokół sfery centralnej, tworząc sześć kolejnych sfer w punktach leżących najbliżej sfery centralnej.


Teraz możliwe jest powstanie tzw. Jajo Życia, czyli ośmiu pierwszych komórek zwanych macierzystymi - kształt embrionalny żywego organizmu. Jajo Życia widać wyraźnie, gdy pokażemy powyższy obrazek w trzech wymiarach  - po lewej.  Po prawej stronie zdjęcie ludzkiego embrionu ośmiokomórkowego.

Wcześniejsza faza podziału komórkowego tworząca czworościan foremny

.
Duch dokonuje trzeciego pełnego obrotu i tworzy kształt podobny do kształtu zwanego w świętej geometrii Kwiatem Życia. Piszę podobny, ponieważ oryginalny symbol Kwiatu Życia zawiera w sobie zaczątki dodatkowych niedomkniętych kół i całość otoczona jest przez dwa koła koncentryczne (poniższy rysunek po prawej).


Sfery tworzone przez trzeci pełny obrót są na obrazku przyciemnione dla lepszej widoczności.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na obrazku po lewej występuje pewna geometryczna prawidłowość. Otóż w okręgu o dowolnej wielkości mieści się zawsze siedem idealnie dopasowanych do siebie mniejszych okręgów.

 

W starożytności symbol Kwiatu Życia można było spotkać w różnych miejscach na całym świecie, a niektóre z nich zachowały się do dzisiaj. Poniżej przykłady

z Indii

i Turcji

http://www.floweroflife.org/folindia.htm

 

Kwiat Życia  wypalony na ścianie filaru świątyni Ozyrysa w Abydos (Egipt)
39 OsirisFlowerofLife


Fragment wykładu Przekroczyć Horyzont Zdarzeń część 3.0 (50-54 min)
dotyczący świątyni Ozyrysa i znajdującego się w tej świątyni Kwiatu Życia.


Cały wykład 3.0 jest TUTAJ

Drunvalo Melchizedek zastanawiał się dlaczego symbol Kwiatu Życia zawiera w sobie niedokończone koła otoczone dwoma zewnętrznymi kołami koncentrycznymi. Oczywiście można uznać to za kwestię estetyczną.. Jednak Melchizedek uznał to za zabieg celowy, skrywający jakąś tajemnicę. Wytłumaczył ją następująco. Otóż w oryginalnym symbolu Kwiatu Życia mamy dwa rzędy niedokończonych kół. Jeśli dokończymy te koła, to uzyskamy pełny wzór Kwiatu Życia, zawierający w sobie dziewiętnaście kół z czego trzynaście (lub dwanaście kół wokół jednego centralnego...) składa się na całość zwaną Owocem Życia.

Owoc Życia oznaczony jest na obrazku kolorem niebieskim.


Wzór Owocu Życia Melchizedek nazywa "jedną z najświętszych, najbardziej uświęconych form, jakie istnieją na Ziemi", albowiem  z jego treści "powstało wszystko, co istnieje w Rzeczywistości." Oto i on:


Według Melchizedeka Jajo Życia, torus i Owoc Życia stanowią "podstawę stworzenia wszystkiego co istnieje, bez wyjątku".
W następnym punkcie pokażemy w jaki sposób owoc życia powiązany jest z tzw. Sześcianem Metatrona i platońskimi bryłami.

 


 

Sześcian Metatrona i bryły platońskie

 

W świętej geometrii przyjęło się traktować koło jako symbol energii żeńskiej, a linię prostą jako symbol energii męskiej. Połączmy teraz energię męską z żeńską, nakładając linie proste na żeńskie koła. Kiedy nałożymy linie proste na Owoc Życia łącząc ze sobą wszystkie środki jego trzynastu kół, otrzymamy tzw. Sześcian Metatrona. To w jego matrycy zawarte są wszystkie platońskie bryły, poza jedną -  dwunastościanem - , której nie da się narysować używając siatki Sześcianu Metatrona. Dwunastościan możemy narysować dopiero wówczas, gdy  dorysujemy do Sześcianu dodatkowe linie.  Jednak wówczas  krawędzie dwunastościanu wykroczą poza ramy Sześcianu. co zgodne jest z pitagorejską koncepcją dwunastościanu jako "stelażu wszechświata", w ramach którego mieszczą się pozostałe bryły w sposób, który ukazany zostanie w kolejnym punkcie tego działu pt. Gwiezdna Matka. No, ale po kolei...

Nie zajmuję się tutaj mistycznym znaczeniem słowa Metatron. Osoby zainteresowane tą kwestią znajdą coś na ten temat w internecie.

W wyniku łączenia środków wszystkich kół liniami prostymi otrzymujemy Sześcian Metatrona.
 

Następnie przy pomocy powstałej siatki możemy narysować bryły platońskie łącząc ze sobą środki odpowiednich kół.

Na poniższych obrazkach mamy z lewej strony - bryłę platońską z siatką Sześcianu Metatrona, a po prawej - bryłę bez siatki.


Czworościan (tetrahedron)


Sześcian (hexahedron)



Ośmiościan (octahedron)



Dwudziestościan (icosahedron)


Dwunastościan (dodecahedron)

Jak widać na poniższym rysunku siatka Sześcianu Metatrona nie zawiera wszystkich linii potrzebnych do narysowania dwunastościanu foremnego. Dwunastościan opary jest w całości na Złotej Proporcji, którą da się uzyskać dzięki bryle sześcianu foremnego, ale uzyskana w ten sposób bryła dwunastościany foremnego wykroczy swoimi krawędziami poza obręb Sześcianu Metatrona.
Jest to w sumie zgodne z koncepcją Pitagorejczyków i Platona, dla których - jak mówimy o tym w dziale Kształty wszechświata - dwunastościan był stelażem wszechświata. To, w jaki sposób dwunastościan łączy się z sześcianem zostanie pokazane w kolejnym punkcie tego działu, gdzie bryły platońskie zostaną połączone ze sobą  trzech wymiarach tworząc tzw. Gwiazdę Matkę.

Brakujące linie dwunastościanu i próba znalezienie rozwiązania na płaszczyźnie.


Tak więc korzystając z siatki Sześcianu Metatrona, możemy dodać brakujące linie. Wykorzystując zawarte już w siatce linie, możemy dorysować proste, które wyznaczą na bokach Sześcianu Metatrona punkty, dzięki którym uzyskamy brakujące krawędzie dwunastościanu. Łącząc nowo powstałe punkty ze sobą i środkami zewnętrznych kół Sześcianu Metatrona uzyskujemy dodatkowe linie (na rysunku w kolorze czerwonym), które pozwalają narysować krawędzie całego dwudziestościan, które jednak wykroczą poza obręb Sześcianu.
Co ciekawe, okazuje się, że naniesione przez nas proste przecinają krawędzie Sześcianu Metatrona w punktach, które dzielą jego krawędzie według Złotej Proporcji opartej na liczbie Fi (Phi) = 1,618... Innymi słowy, jeśli potraktujemy krawędź Sześcianu Metatrona jako odcinek, to "nasze" punkty podzielą go według Złotej Proporcji. Koresponduje to zresztą z faktem iż budowa pięciokątnego dwunatościanu foremnego opiera się liczbie Phi.


Dwudziestościan wyrysowany przez stare i nowe linie siatki


Co ciekawe, linie wyznaczające nowe punkty na krawędziach Sześcianu Metatrona tworzą w jego centrum tzw. czworościan gwiaździsty.

Dwa ostatnie rysunki pokazują, że istnieje jakiś sposób połączenia geometrii sześciokątnej i pięciokątnej. I tak jest w istocie. Owo połączenie będzie widać wyraźnie, gdy połączymy ze sobą (w trzech wymiarach) wszystkie bryły platońskie w tzw. Gwiezdną Matkę. Zostanie to pokazane w następnym punkcie.

 


 

Gwiezdna Matka

 

Przyjmując za Platonem, że cały wszechświat zorganizowany na wzór pięciu podstawowych figur geometrycznych, zobaczmy jak figury te mogą łączyć się ze sobą tworząc model tzw. Gwiezdnej Matki.


(Poniższy model Gwiezdnej Matki opracowany został przez Dana Wintera.

Model Gwiezdnej Matki składa się z pięciu
brył platońskich wpisanych jedna w drugą.


Źródło: http://www.goldenmean.info/kit/


Struktura Gwiezdnej Matki.


1. W centrum Gwiezdnej Matki znajduje się ośmiościan (diament).


2. Ośmiościan jest wspólnym jądrem dwóch odrębnych, przenikających się czworościanów.
1 czworościan opisany na ośmiościanie


2 czworościany opisane na ośmiościanie
tworzące tzw. czworościan (tetraedr) gwiaździsty (Gwiazdę Dawida w trzech wymiarach)
(niebieskie gwiazdki wskazują wierzchołki pierwszego czworościanu)

Czworościan gwiaździsty otrzymujemy dzięki stellacji ośmiościanu

3. Dwa przenikające się czworościany mają osiem wierzchołków,
które połączone liniami prostymi wyznaczają krawędzie Sześcianu:


Okazuje się, że sześcian można wpisać w dwunastościan. W tym celu należy przechylić sześcian w stosunku do jego własnej podstawy dokładnie o 32 stopnie. Wówczas osiem wierzchołków sześcianu idealnie pokryje się z ośmioma wierzchołkami dwunastościanu.
Co więcej, gdy przechylony o 32 stopnie sześcian obrócimy wokół pionowej osi symetrii 5 razy, to wierzchołki sześcianu wyrysują wszystkie wierzchołki dwunastościanu, a krawędzie sześcianu obróconego pięć razy utworzą pentagram (widoczny w środku ostatniego obrazka). Oto cały ten proces:





W powyższym procesie mamy do czynienia z połączeniem geometrii sześciokątnej (heksagonalnej) z geometrią pięciokątną (pentagonalną). Najprościej mówiąc, sześcian obracając się według nowej osi symetrii wyznacza wierzchołki dwunastościanu foremnego, który składa się z dwunastu pięciokątów foremnych.  Jak zostanie to jeszcze pokazane (tutaj) pięciokąt foremny jest figurą, której przekątne tworzą pentagram, którego
wszystkie ramiona przecinają się według "złotej proporcji" czy też "złotego cięcia". Każda z tych dwóch geometrii pełni określoną  funkcję,, o ile geometria sześciokątna odpowiada za stabilizację, równowagę i składowanie energii, o tyle geometria pięciokątna związana jest z rozprowadzaniem energii (jej dystrybucją czy transmisją), które opierając się na złotym podziale - jest rozprowadzaniem doskonale harmonijnym, o czym wielokrotnie będzie mówił w swoich wykładach Dan Winter.


Pozostało nam jeszcze wpisanie dwunastościanu w dwudziestościan.
Aby to zrobić przedłużamy krawędzie dwunastościanu (białe kulki tworzą jego wierzchołki)
aż do momentu, gdy krawędzie te zetkną się ze sobą tworząc 12 wierzchołków dwudziestościanu.


12 wierzchołków dwudziestościanu (żółte kulki)
Widać też sześcian wpisany w białe wierzchołki 12-ścianu.


Czy to już jest Gwiezdna Matka?
Jeszcze nie. Brakuje nam bowiem ostatniej, piątej bryły platońskiej - dwudziestościanu.

Gdy połączymy 12 wierzchołków krawędziami otrzymamy dwudziestościan


Teraz musimy tylko przedłużyć krawędzie 20-ścianu, aby otrzymać wierzchołki Gwiezdnej Matki.
Dla utrzymania stabilności konstrukcji wierzchołki te zostały "spięte" krawędziami.
(Krawędzie 'spinające' wierzchołki tworzą dwunastościan)


Czym jest Gwiezdna Matka?
Jest modelem fraktala ukazującym wzajemne relacje między 5 bryłami platońskimi, które osadzone są tutaj jakby w jednym gnieździe. W naturze Gwiezdnej Matki leży naprzemienne generowanie (na zasadzie pulsowania) dwunastościanu i dwudziestościanu, które wyznaczają ścieżki dla idealnego (fraktalnego) i niedestrukcyjnego przepływu energii.
Wystarczy przedłużyć krawędzie dwunastościanu, aby nieuchronnie skrzyżowały się one wyznaczając w ten sposób wierzchołki dwudziestościanu. I odwrotnie - przedłużając krawędzie otrzymanego 20-ścianu uzyskamy wierzchołki 12-ścianu.
Dwudziestościan i dwunastościan można więc wpisywać/opisywać na sobie naprzemienne W NIESKOŃCZONOŚĆ.
Owo pulsowanie oparte jest na Złotym Podziale i daje nam w efekcie idealny trójwymiarowy fraktal, opisujący zjawisko niedestrukcyjnej kompresji falowej oraz wspomnianego już przyspieszenia, które JEST grawitacją.
Według Dana Wintera Gwiezdna Matka wyznacza geometrię DNA, siatki Ziemi i Zodiaku.

Filmik: Gwiezdna Matka - budowa i funkcje.


Jako, że na pulsujący szkielet dwunastościanu i dwudziestościanu "składają się naprzemiennie wiązki krawędzi obu wielościanów (...) i w którym wzrostem promieni, powierzchni i wolumenów rządzi w postępie geometrycznym rytm złotego cięcia - dostrzegamy tu idealny archetyp dynamicznego wzrostu" [M. C. Ghyka - "Złota Liczba", s. 44-45]*.
Ten idealny archetyp jest idealnym trójwymiarowym FRAKTALEM, który "pączkuje" w nieskończoność tworząc naprzemienne 12-20-12-20-ściany... Jest on obrazem krzyżowania się wszystkich fal opartego na proporcji Złotego Podziału.

Owo "pączkowanie" idealnego fraktala umożliwia wpisywanie Sześcianu Metatrona w kolejne "szkielety" dwunasto- i dwudziestościanu, dzięki czemu tworzą się kolejne "światy" na różnych poziomach Stworzenia.
Rzeczywistość jest jednak bardziej złożona. Tworzą ją bowiem nie tylko wyjściowe kształty pięciu brył platońskich, ale także ich wzajemne przenikanie się, ich projekcje, przekroje i odbicia w różnych nakładających się na siebie skalach. Pamiętajmy także , iż ewolucja niejako z definicji zakłada ruch.
Poglądowa ilustracja tego ruchu:


Gwiezdna Matka jako miara czasu [PL]

Gordon Plummer, teozoficzny autor w książce "Matematyka kosmicznego umysłu" pokazuje, że suma kątów gniazda wszystkich brył platońskich, zwanego Mniejszym Labiryntem albo Gwiezdną Matką (suma wewnętrznych kątów wszystkich brył platońskich w tym gnieździe) równa się liczbie lat precesji....
Wykład G. Plummera In the Nature of Things [ENG]


*Cytat pochodzi z:
Matila C. Ghyka - "Złota Liczba. Rytuały i rytmy pitagorejskie w rozwoju cywilizacji zachodniej"
"Złota liczba", wydana pierwotnie po francusku, robiła prawdziwą furorę w Europie lat trzydziestych XX w. Autor, wykorzystując bogaty materiał historyczny i porównawczy z różnych dziedzin - od fizyki atomowej poprzez dzieje architektury i sztuki aż po biologię - śledzi historię "złotej liczby" i związanych z nią pojęć rytmu oraz harmonii w kulturze zachodniej od czasów Pitagorasa do dziś. I dochodzi do zaskakującego wniosku, że geometryczna, oparta na liczbie interpretacja świata, będąca odkryciem Pitagorasa i przez całe wieki stanowiąca rdzeń ezoterycznego nauczania w tajemnych bractwach (po nowożytne wolnomularstwo!) to nie tylko historyczny wyróżnik zachodniej cywilizacji, lecz także jedno z żywych do dziś jej źródeł; przecież poszukiwanie przez fizyków nowych geometrii przestrzeni to nic innego - twierdził B. Russell - jak nawrót do pitagoreizmu..."
http://www.universitas.com.pl/ksiazka/Zlota_liczba_1481.html
A
A
AKTUALIZACJA
a
W maju 2013 r.pojawiła się nowa wersja kolorystyczna Gwiezdnej Matki (Star Mother) Dana Wintera.
W nowej Gwiezdnej Matce, w kolorze żółtym, wykonano elementy "przedłużające" niebieskie krawędzie dwuDZIESTOścianu (wyznaczające wierzchołki dwuNASTOścianu) oraz krawędzie dwuNASTOścianu.

Na poniższych ilustracjach Star Mother widoczna jest pod kątem ukazującym jej pięciokątną geometrię. 
Uwypukliłem tę geometrię, nanosząc kilka linii.




 


 

Złoty podział

Siła złotego podziału w tworzeniu harmonii leży w jego unikalnej zdolności
do łączenia różnych części całości w taki sposób, że każda z nich
zachowuje własny charakter, a jednocześnie wtapia się
w szerszy kontekst pojedynczej całości.
-
György Doczi, The Power of Limits
 
 
Czym jest złoty podział, złota proporcja i liczba Phi?

Zacznijmy nieco niestandardowo. Proponuję, aby przed dalszą lekturą obejrzeć fragment kreskówki Kaczor Donald w krainie matematycznej magii... ;) 

Najprościej mówiąc złoty podział (łac. sectio aurea), to podział odcinka na dwie części w taki sposób, że cały odcinek ma się do dłuższej części tak, jak dłuższa do krótszej. Taki podział tworzy proporcję nazywaną złotą, którą oznaczamy liczbą  FI [gr. Φ; ang. Phi] Z obliczeń wynika, że wartość liczbowa tego stosunku wynosi 1,61803...

zota proporcja z pptpcyrkiel

Złoty podział w Wikipedii

Jeszcze raz: złota proporcja mówi nam, że stosunek całego odcinka (a+b) do jego dłuższej części (a) jest taki sam, jak stosunek dłuższej części odcinka (a) do krótszej (b). Należy jednak zaznaczyć, że gdy podzielimy odcinek o długości 1  według złotej proporcji, to wówczas zostanie on "przecięty" w punkcie o wartości 0,618. Tak więc równie dobrze na obrazku moglibyśmy wpisać, że wartość a+b=1, a=0,618, b= 0,381. Wszystko zależy od przyjętej na wstępie długości odcinka. Nie jest ona jednak istotna, ponieważ liczy się tutaj zachowanie proporcji.

 

Jak narysować złoty podział odcinka?

Najprostszy sposób polega na użyciu jednej (czerwonej) linii i czterech okręgów.
Linia niebieska to złoty podział odcinka...

Zloty podzial cyrklem

Inne sposoby rysowania złotego podziału

Matematycznie istnieje tylko jeden taki podział. Zakłada się, że jako pierwszy opisał go Euklides w III w p.n.e. w swej rozprawie Elementy.

Wprowadzenie nazwy "złota proporcja" przypisuje się Leonardo Da Vinci, a określenie "boska proporcja"  Luce Pacioli, który opisał ją w swym dziele De Divina proportionae do której rysunki wykonał Leonardo Da Vinci. Możesz je obejrzeć w rozdziale Wielokąty i bryły platońskie.

Innymi terminami używanymi na określenie złotego podziału i złotej proporcji są "złoty środek" oraz "złote cięcie".

Posługując się liczbą FI, można do dwóch wyjściowych odcinków dorysowywać kolejne odcinki  w taki sposób, że  każdy nowo powstały odcinek będzie pozostawał do wcześniejszych odcinków w złotej proporcji.

Weźmy przykładowo odcinek równy liczbie FI: C = 1.6180339 i dorysujmy do niego kolejne odcinki pozostające w z odcinkiem wyjściowym w złotej proporcji. Można to zrobić na dwa sposoby:

A) mnożąc liczbę Fi przez samą siebie:


1.0000000 x 1.6180339 =  1,6180  33...
1.6180339 x 1.6180339  = 2,6180  33...

2,6180337 x 1.6180339  = 4,2360  67...
4,236067.. x 1.6180339 =  6,8541  00..., etc.

lub
B) dodając do kolejnej sumy, poprzednią sumę:


0.6180339 + 1.0000000 =  1,6180 339
1.0000000 + 1.6180339 =  2,6180 339
2.6180339 + 1.6180339 =  4,2360 678
4,2360678 + 2.6180339 =  6,8541 017, etc...

Zarówno w wyniku dodawania i mnożenia zawsze uzyskasz takie same kolejne liczby do czterech lub więcej miejsc po przecinku (zależy to od tego, ile miejsc po przecinku wpiszesz w punkcie wyjścia). Liczby te wyznaczą długość kolejnych odcinków pozostających względem siebie w złotej proporcji.

Przykład kości dłoni pozostających względem siebie w złotej proporcji.
reka


Liczby, które otrzymujemy w wyniku dodawania i/lub mnożenia
A = 1,000000 cm
B = 1,618033 cm
C = 2,618033 cm
D = 4,236067 cm
wyznaczają długości kolejnych kości dłoni -
oczywiście przy założeniu, że długość najkrótszej kości wynosi 1cm.
Jednak niezależnie od długości kości, proporcje między nimi zawsze będą wyznaczone przez liczbę Fi = 1,618...


Dłoń na fotografii rentgenowskiej

rentgen dlon

Złota proporcja jest obecna w ludzkim ciele na  kilka sposobów. Zostanie to opisane szerzej w dziale poświęconym geometrii człowieka. Zanim tam przejdziesz, możesz podzielić sobie swój wzrost przez odległość od stóp do twego pępka.  Wynik powinien oscylować wokół wartości FI = 1, 618.  Przed pomiarem ściągnij oczywiście buty na obcasach... ;)

* * *



 

Złoty prostokąt, złoty trójkąt i pentagram

w budowie

Gdy wiemy już czym jest złota proporcja, możemy narysować złoty prostokąt. Oto on:


Jak narysować złoty prostokąt? (animacja)


Złoty prostokąt jako jedyny ma taką oto właściwość, że można podzielić go (przy pomocy kwadratów) na mniejsze prostokąty. Otrzymane, mniejsze prostokąty będą posiadały tę samą proporcję, co prostokąt wyjściowy, niezależnie od tego jak wiele mniejszych prostokątów narysujemy. Oczywiście  rysując coraz mniejsze złote prostokąty na kartce papieru dojdziemy do punktu, w którym nie będziemy w stanie narysować kolejnego prostokąta z powodu jego bardzo małej wielkości. Jednakże posługując się programem komputerowym  możemy rysować bez końca. W tym przypadku, dochodząc do punktu, w którym ograniczyła nas kartka papieru, możemy nasz malutki prostokąt powiększyć  i ciągnąć  naszą zabawę dalej, w nieskończoność...

Warto tu powiedzieć, że gdy zmienimy nieco proporcje boków naszego wyjściowego prostokąta, wówczas kolejne rysowane prostokąty przestaną być harmonijne. Szybko ulegną zniekształceniu, a cały rysunek  niebawem pogrąży się w chaosie... Utracimy złotą harmonię... To nie przypadek, że złotą proporcję nazywa się proporcją harmoniczną...

 

Rysując kolejne kwadraty tworzymy kolejne złote prostokąty. 

Więcej na temat rysowania złotego prostokąta.

 

Złoty trójkąt

Oprócz złotego prostokąta mamy inną interesującą figurę - złoty trójkąt. Jego właściwości są  chyba jeszcze  bardziej ciekawe niż właściwości złotego prostokąta. Złoty trójkąt to trójkąt równoramienny, w którym stosunek boku do podstawy jest równy liczbie FI. Obydwa kąty przy podstawie tego trójkąta mają po 72 stopnie. Kąt wewnętrzny wierzchołka naprzeciwko podstawy wynosi 36 stopni. Trójkąt ten ma podobną właściwość jak złoty prostokąt: można go dzielić na kolejne mniejsze trójkąty, które też będą złotymi trójkątami.

 

Złoty trójkąt jest częścią pentagramu (jest to stellacja lub przekątne pięciokąta foremnego) którego WSZYSTKIE ramiona przecinają się według zasad złotego podziału. 

I właśnie dlatego, że wszystkie ramiona pentagramu przecinają się według "złotego cięcia" jest on figurą symbolizującą doskonałą harmonię, co wielu osobom może wydać się teraz "dziwne" ponieważ większość z nas ma nieco inne skojarzenia związane z pentagramem. Wszystko wskazuje jednak na to, że nasze  skojarzenia mają związek z ukrywaniem wiedzy o proporcjach harmonicznych przyrody... Zobacz też tekst z 29.06.2010 pt. Brytyjscy naukowcy odkrywają „tajne przekazy” ukryte w starożytnych tekstach Platona

Warto dodać w tym miejscu , że Pitagorejczycy uważali pentagram za symbol doskonałości i zdrowia... Znakiem tym uczeni pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go na piasku.

 

Fragment kreskówki Kaczor Donald w krainie matematycznej magii...

Pięciokąt i pentagram jako model idealnego fraktala na płaszczyźnie.
(Animacja po prawej stronie ma objętość 1,7MB, więc może się dłużej wczytywać)



Pięciokąt (pentagon) ze swoimi przekątnymi tworzącymi pentagramem
składa się tylko z dwóch rodzajów trójkątów, z czego jeden to złoty trójkąt.

Pitagorejczycy złoty trójkąt z poniższego obrazka nazywali Pollux a czerwony Castor


Źródło obrazków
http://goldennumber.net/

Zobacz też Ognie świętego Elma (ognie Kastora i Polluksa) ;)

 

Złoty trójkąt możemy dzielić w nieskończoność i otrzymywać coraz to nowe, powtarzające się
harmonijnie, fraktalne wzory składające się z  powyższych  dwóch "bratnich" trójkątów.

Źródło obrazków

 

 


 

Trójkąt prostokątny i liczba Fi



Trójkąt prostokątny - trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.
Za: Wikipedia


Liczbę Fi możemy wyliczyć z każdego trójkąta prostokątnego, którego jedna przyprostokątna jest o połowę krótsza od drugiej przyprostokątnej.

Aby to zrobić musimy wykonać trzy proste operacje:
1) przyjmując wybrane przez siebie długości przyprostokątnych, obliczamy długość przeciwprostokątnej posługując się twierdzeniem Pitagorasa (a2+b2=c2)
2) do otrzymanej długości przeciwprostokątnej dodajemy długość krótszej przyprostokątnej
3) uzyskaną w ten sposób liczbę dzielimy przez długość dłuższej przyprostokątnej.


Przykład:
1) weźmy trójkąt prostokątny, w którym długość krótszej przyprostokątnej wynosi 1cm, a dłuższej 2cm
2) obliczmy długość przeciwprostokątnej ze wzoru a2+b2=c2

a2+b2=c2
1cm2+2cm2=c2
1cm+4cm=5cm2


5cm2 (pięć centymetrów kwadratowych) to oczywiście nie jest długość przeciwprostokątnej, lecz powierzchnia kwadratu o boku równym przeciwprostokątnej "c". Chcąc obliczyć bok tego kwadratu, a tym samym długość naszej przeciwprostokątnej "c" musimy obliczyć pierwiastek z naszego c2=5cm2

Działanie to jest proste - tak jak bok kwadratu podniesiony do kwadratu daje powierzchnię kwadratu, tak pierwiastek z liczby oznaczającej powierzchnię kwadratu daje nam długość boku tego kwadratu. Tak więc:

√5 = 2,2360679774997896964091736687313cm - długość przeciwprostokątnej trójkąta o bokach 1cm i 2cm

Teraz do przeciwprostokątnej dodajemy długość krótszej przyprostokątnej:
2,2360679774997896964091736687313cm +
1cm = 3,2360679774997896964091736687313cm

i uzyskaną liczbę dzielimy przez długość dłuższej przyprostokątnej, w naszym przypadku = 2

3,2360679774997896964091736687313cm /
2cm = 1,6180339887498948482045868343656cm

Otrzymujemy liczbę Fi = 1,6180339887498948482045868343656cm

 


Sprawdzamy.

Pisaliśmy, że liczbę Fi możemy odnaleźć w KAŻDYM trójkącie prostokątnym, którego jedna przyprostokątna jest o połowę krótsza od drugiej przyprostokątnej. Sprawdźmy tę prawidłowość dla prostokąta o przyprostokątnych równych 3cm i 6cm.

a^2+b^2=c2
3cm2+6cm2=c2
9cm+36cm=45cm2
√45 = 6,7082039324993690892275210061938cm

Do przeciwprostokątnej dodajemy długość krótszej przyprostokątnej:
6,7082039324993690892275210061938cm + 3cm = 9,7082039324993690892275210061938cm

uzyskaną liczbę dzielimy przez długość dłuższej przyprostokątnej:
9,7082039324993690892275210061938cm / 6cm = 1,6180339887498948482045868343656cm

Otrzymujemy liczbę Fi = 1,6180339887498948482045868343656cm

Działa :)

Dałem tyle liczb po przecinku, na ile pozwolił mi kalkulator...

 

* * * * *

Powyższe wyliczenia sugerują związek twierdzenia Pitagorasa z liczbą Fi (złotym podziałem) i być może dlatego Johannes Kepler (1571–1630) zwykł mawiać:


Geometria ma dwa wielkie skarby: jeden z nich to Twierdzenie Pitagorasa,
drugi – podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym.
Pierwszy możemy porównać do miary złota,
drugi możemy nazwać drogocennym klejnotem.
.
Źródło cytatu

.


 

Złota spirala, spirala i szereg Fibonacciego

 

W sensie matematycznym złota spirala jest krzywą. Istnieje jednak wiele rodzajów spiral. Ich ich cechą wspólną jest to, że rozwijają się wokół stałego punktu (zwanego biegunem spirali) zwiększając odległość od niego.
Złota spirala, utworzona według zasady złotego podziału nazywana jest przez matematyków spiralą logarytmiczną lub spiralą równokątną.

"Nazwa 'równokątna' wzięła się stąd, że każda półprosta wychodząca ze środka spirali przecina każdy jej zwój pod tym samym kątem. (...) Spirala równokątna jest figurą samopodobną, tzn. że dowolny jej fragment odpowiednio powiększony (lub pomniejszony) pokrywa się z pewnym innym jej fragmentem (taką własność mają też fraktale).

To właśnie samopodobieństwo tłumaczy, dlaczego taka a nie inna spirala pojawia się na muszlach. Wraz ze wzrostem ciała mięczaka powiększa się również muszla, która go chroni. Organizm staje się coraz większy, ale wciąż zachowuje swój pierwotny kształt. Muszla zachowuje się podobnie.


 

W przeszłości krzywa ta zwana była spira mirabilis (cudowna spirala), a słynny XVII wieczny matematyk szwajcarski Jakub Bernoulli był tak zafascynowany jej własnościami, że życzył sobie, aby została wyryta na jego nagrobku z napisem eadem mutata resurgo (pozostaję ta sama, choć się zmieniam). Tak się (prawie!) stało, choć niestety grawer okazał się kiepskim matematykiem i na grobie uczonego w katedrze w Bazylei widnieje do dziś inna spirala, o równych odstępach między kolejnymi zwojami (zwana spiralą Archimedesa) - patrz zdjęcie obok."

Źródło: http://www.matematyka.wroc.pl/matematykawsztuce/spiralny-swiat-muszli

 

 

Złota spiralę można skonstruować geometrycznie przynajmniej na dwa sposoby - używając do tego złotych trójkątów

 lub złotego prostokąta

spirala w prostokcie


Złota spirala ma tak wiele odniesień, że opisanie ich tutaj zajęłoby bardzo dużo miejsca. Będziemy o niej mówić w dziale Geometria przyrody, geometria człowieka i jest o niej sporo w filmach Dana Wintera. Dlatego  tutaj  wspomnę tylko o dwóch sprawach związanych ze złotą spiralą. Obie pochodzą z twórczości Dana Wintera. Według niego, złota spirala nie jest jedynie abstrakcyjną konstrukcją matematyczną. Jest ona przede wszystkim 1) "mapą" dla idealnej kompresji ładunku elektrycznego, czyli implozji - tekst pod obrazkiem oraz 2) ścieżką, którą (w sposób fraktalny i perfekcyjny) podąża ładunek elektryczny, by ostatecznie wejść do naszej krwi, do DNA, co wiąże się  z pojęciem Świętego Graala. Dzięki temu, że budowa spirali, podobnie jak budowa naszego DNA oparta jest na złotym podziale, możliwe jest wejście energii (ładunku elektrycznego) do DNA. Ów kontakt, jak jeszcze zobaczymy, z pewnej perspektywy oznacza znalezienie Świętego Graala... I faktycznie,  przynajmniej w sensie graficznym, złota spirala obracana wokół swego bieguna tworzy coś, na kształt kielicha, który Dan Winter nazywa "jedynym prawdziwym trójwymiarowym fraktalem" będącym dla niego Świętym  Graalem. Zobacz  dwa fragmenty filmów Dana w wątku Czym jest Święty Graal? (Być może będą one na ten moment jeszcze zbyt hermetyczne, ale nie przesądzam...  Teraz zobaczmy jednak kilka obrazków i animacji złotej spirali.


Złota spirala - widok z góry i z boku



Złota spirala tworzy kielich Graala obracając się wokół swego bieguna
(plik ma 900kb, więc trochę może potrwać nim się załaduje)

Fragment powyższego ruchu spirali w powiększeniu

 

Kielich Graala z naniesionymi na niego złotymi spiralami - w kolorze zielonym ;)

 

Co ciekawe złote spirale opisane na złotym pięciokącie tworzą kształt do złudzenia przypominający kwiat róży... :)

* * *

Już nie tak ładny i romantyczny jak powyższe obrazki,
przykładowy ruch dwóch spiral ukazany w trzech wymiarach.

O Świętym Graalu będziemy mówić jeszcze w dziale Geometria człowieka, podobnie jak o złotej spirali  powiemy jeszcze w dziale Święta geometria w przyrodzie.

 

Spirala i szereg Fibonacciego


Złota spirala jest bardzo podobna do spirali Fibonacciego różni je jednak zasadniczy szczegół. O ile złota spirala zmierza do swego bieguna
(punktu centralnego), ale NIGDY go nie osiąga (biegun ten leży w obszarze nieskończoności), o tyle spirala Fibonacciego zmierza do swego bieguna i go osiąga w punkcie zero. Niektórzy rozpoczynają ciąg Fibonacciego od zera, a inni od liczby jeden - jak ponoć robił to sam Fibonacci. Dla wygodny obliczeń posłużymy się tutaj zerem, pamiętając, że święta geometria zaczyna swe liczenie od jedynki - symbolu Jedni (jedności wszystkiego co istnieje). Tak czy inaczej jeżeli chodzi o złotą spiralę, to jej biegun leży o obszarze nieskończoności i w tym sensie złota spirala nie ma swego początku. Natomiast spirala Fibonacciego ma swój początek leżący w punkcie zero. Nie będziemy tu rozstrzygać  czy początek powinniśmy oznaczać  matematycznie jako 1 (jeden) czy 0 (zero).

 

Zestawienie obu spiral.

Na powyższym rysunku widać, że spirala spirala Fibonacciego wychodzi z nieco innego punktu, ale z czasem zbliża się do Złotej Spirali przecinając ja nieustannie na zasadzie asymptoty, którą zamieszczam w celu lepszego zobrazowania tego zjawiska.

 

Spirala Fibonacciego zbliża się więc do Złotej spirali, ale nigdy się z nią nie pokryje, choć wizualnie  możemy odnieść takie wrażenie.

Stanie się to jaśniejsze, gdy powiemy, że spirala Fibonacciego opiera się na ciągu Fibonacciego, który ma taka właściwość, że wynik dzielenia kolejnej liczby ciągu przez poprzednią liczbę dąży do wartości liczby Phi= 1,6180339... czyli boskiej proporcji.

O ciągu Fibonacciego jest wiele informacji w internecie, np.  http://matma4u.pl/fibonacci-i-zloty-podzial-t1933.html#entry5799 [PL] lub  http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/ [ENG] dlatego ograniczymy się tutaj tylko do tego co niezbędne.

Tak więc, ciąg Fibonacciego jest przykładem ciągu rekurencyjnego, czyli takiego, w którym następny wyraz zależy od poprzedniego. W ciągu (szeregu) Fibonacciego każdy kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich liczb, stąd ciąg Fibonacciego przedstawiać się będzie następująco:


0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc…

 
0+1= 1
1+1= 2
1+2= 3
2+3= 5
3+5= 8
5+8= 13
8+13= 21
13+21= 34
21+34= 55
34+55= 89
55+89= 144
etc... etc...

  

Mając już liczby ciągu Fibonacciego, możemy narysować spiralę Fibonacciego. Rysujemy ją tak samo jak Złotą Spiralę , czyli  łączymy przekątne kolejnych kwadratów prostokąta. Różnica leży w proporcjach prostokąta. Złotą spiralę rysujemy w złotym prostokącie o proporcjach boków 1 x 1.618 natomiast spiralę Fibonacciego rysujemy w prostokącie zbudowanym z kolejnych  kwadratów o długości boków odpowiadającej kolejnym liczbom ciągu Fibonacciego, czyli 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

Rysowanie prostokąta i spirali Fibonacciego wpisanej w ten prostokąt.

zestawmy ten prostokąt ze złotym prostokątem

No cóż, spirale prawie takie same. Nieco się jednak różnią... :)

.

Małe Resume:
Chuck Missler o Ciągu Fibonacciego w naturze i kulturze

.

Na koniec proponuję zobaczyć krótki filmik The Spirit Science - Boska matematyka [PL], który podsumowuje kilka zebranych tu informacji i dodaje kilka nowych.



Związek liczby Fi z ciągiem Fibonacciego i ciągiem Lucasa.

 

(Temat ten jest częścią opracowania Scott Olsen - Złoty podział w naturze, fizyce, sztuce i architekturze)

 

W trakcie swego wykładu Scott Olsen mówi o związku liczby Fi z ciągiem Fibonacciego i ciągiem Lucasa:

0:28:14 Za każdym razem, gdy masz do czynienia z liczbami Fibonacciego, masz przybliżenie do złotej proporcji.
0:28:20 Natura lubi używać liczb całkowitych, stąd złota proporcja jest przekładna na liczby Fibonacciego i - jak zobaczymy później - na liczby Lucasa.
oraz:
0:49:17 (...) liczby (Lucasa) okazują się być potęgami złotego stosunku (Fi) i jego wielkości odwrotnej (fi) połączonych razem, aż do nieskończoności i odjętych naprzemiennie.
0:49:29 I dają nam one liczby całkowite przyrody (natury). (...)


Związek liczby Fi z ciągiem Fibonacciego.


Napiszmy najpierw czym jest ciąg Fibonacciego.
Ciąg Fibonacciego jest przykładem ciągu rekurencyjnego, czyli takiego, w którym następny wyraz zależy od poprzedniego. W ciągu (szeregu) Fibonacciego każda następna liczba jest sumą dwóch poprzednich liczb.

 

Ciąg Fibonacciego przedstawia się więc następująco:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc…


W jaki sposób ciąg Fibonacciego łączy się z liczbą Fi?

Ciąg Fibonacciego łączy się z liczbą Fi zasadniczo na dwa sposoby.
Pierwszy sposób polega na tym, że wynik dzielenia każdej kolejnej liczby ciągu Fibonacciego przez liczbę ją poprzedzającą dąży do wartości liczby Phi= 1,6180339...
Drugi sposób polega na tym, że każda liczba ciągu Fibonacciego pomnożona przez liczbę Fi= 1,6180339887 daje nam kolejną liczbę tego ciągu. Przy czym, im większą liczbę tego ciągu pomnożymy przez Fi to otrzymamy dokładniejsze przybliżenie kolejnej liczby ciągu Fibonacciego.


Tabelka po lewej ilustruje pierwszy sposób.  Tabelka po prawej ilustruje drugi sposób.      



Związek liczby Fi z liczbami Lucasa (ciągiem Lucasa)

Liczby Lucasa tworzy się w taki sam sposób jak liczby Fibonacciego, tyle, że początkowe dwie liczby to 2 i 1. Każda następna liczba w ciągu Lucasa jest sumą dwóch poprzednich liczb.

Ciąg Lucasa przedstawia się więc następująco:
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, etc.



W jaki sposób ciąg Lucasa łączy się z liczbą Fi?

Odpowiedź jest prosta. Ciąg Lucasa łączy się z liczba Fi w taki sam sposób jak ciąg Fibonacciego, czyli:
- wynik dzielenia każdej kolejnej liczby ciągu Lucasa przez liczbę ją poprzedzającą dąży do wartości liczby Phi= 1,6180339...
- każda liczba ciągu Lucasa pomnożona przez liczbę Fi= 1,6180339887 daje nam kolejną liczbę tego ciągu. Przy czym, im większą liczbę tego ciągu pomnożymy przez Fi to otrzymamy dokładniejsze przybliżenie kolejnej liczby ciągu Lucasa.

Widzieliśmy, jak oblicza się to w przypadku ciągu Fibonacciego, więc każdy samodzielnie może sprawdzić sobie, te zależności.

Liczby Lucasa łączą się jednak z liczbą Fi w jeszcze jeden sposób. I to o tym właśnie sposobie wspomina w swoim wykładzie Scott Olsen. W 49:17 min. wykładu mówi on: "(...) liczby (Lucasa) okazują się być potęgami złotego stosunku (Fi) i jego wielkości odwrotnej (fi) połączonych razem, aż do nieskończoności i odjętych naprzemiennie.

W zdaniu tym chodzi o taką oto logikę:

Gdy weźmiesz kolejną potęgę Fi (1,618...) oraz kolejną potęgę jej odwrotności (0,618...), a potem, na przemian będziesz je odejmować (Fi - fi) lub dodawać(Fi+fi), to ich niewymierne rozwinięcia skasują się i zostawiają pojedynczą całkowitą liczbę, która okazuje się być kolejną liczbą w ciągu Lucasa. (Jedyna rzecz której tutaj brakuje, to początkowa dwójka z ciągu Lucasa. Poza dwójką, która rozpoczyna ciąg (liczby) Lucasa

 

Zależność między liczbą Fi ciągiem Lucasa
  (Fi2)    -/+      (fi2)  

Wynik
dodawania  

Wynik
odejmowania  

Ciąg
Lucasa

1)

1.618033...  -   0.618033... =
  1 1
2)
2.618033...  +  0.381965...
= 3   3
3) 4.236067...  -   0.236067... =   4 4
4) 
6.854101...  +  0.145897... = 7   7
5) 11.090169...  -  0.090169... =   11 11
6) 17,944266...  + 0,055728... = 18   18
7) 29,034430...  -  0,034441...
=   29 29
8) 46,978693... + 0,021286...
= 47

47
9) 76,013118...  -  0,013155...
=
76
76
10) 122,991801.. + 0,008130...
= 123

123


Dodam w tym miejscu jeszcze, że wyniki dzielenia kolejnych liczb ciągu Lucasa przez kolejne liczby ciągu Fibonacciego dążą do pierwiastka kwadratowego z 5 = 2,23606797749...

Ciąg Lucasa 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521
Ciąg Fibonacciego 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
= = = = = = = = = = = = = =
Ciąg Lucasa/ciąg Fibonacciego 0 1 3 2 2,3333 2,2 2,25 2,2307 2,2380 2,2352 2,2363 2,2359 2,2361 2,2360

 

Scott Olsen mówi: "Natura lubi używać liczb całkowitych, stąd złota proporcja jest przekładna na liczby Fibonacciego i (..) na liczby Lucasa."

Po takim stwierdzeniu zwykle pojawia się pytanie: W jaki sposób liczby te obecne są w Naturze?
Pewne odpowiedzi (zweryfikowane lub nie) już istnieją i można je odnaleźć także  w tej witrynie. Zamieszczam tym samym linki do koncepcji
ukazujących obecność liczby Fi i ciągu Fibonacciego w szeroko pojętej Naturze.

Wszechświat i Układ Słoneczny

1) Makrokosmos, mikrokosmos i liczba Phi.
2) Wszechświat jest jak piłka (jako dwunastościan foremny).
3) Pięciokątne cykle Wenus
4) Relacje między planetami Układu Słonecznego, w kontekście geometrycznym, opisał John Martineau w A Little Book of Coincidence

Świat przyrody

5) Fragment książki „Kod Leonarda da Vinci” o liczbie Fi w przyrodzie
6) Filotaksja, czyli złote spirale i ciąg Fibonacciego w przyrodzie
7) Złoty podział i geometria DNA.
8) Miłość i liczba PHI.



PODYSKUTUJ NA FORUM

 P.S  :)

Istnieje także ciekawy związek między ciągiem Fibonacciego i trójkątem Pascala.

Źródło obrazka: http://goldennumber.net/pascal.htm

pascaltriangleanimated2

Źródło

 


 

Sześcio-ośmiościan i  'jitterbug'  Buckminster Fullera

Buckminster Fuller: http://pl.wikipedia.org/wiki/Buckminster_Fuller 

di T6UW


Sześcio-ośmiościan to szczególna bryła, w której wszystkie wektory sił równoważą się wzajemnie, tworząc stan idealnej równowagi. Zobacz w jaki sposób
Nassim Haramein opisuje równowagę wektorową we fragmencie wykładu Przekroczyć Horyzont Zdarzeń - część 2.0  (17-21 min.)


Cały wykład Nassima Harameina

PODYSKUTUJ NA FORUM

 

Równowaga wektorowa przechodząca z dwóch (2D) do trzech (3D) wymiarów (animacja i obraz statyczny)


Na powyższej animacji widzimy "przejście" od jednej sześciokątnej płaszczyzny (w 2D) do czterech sześciokątnych płaszczyzn  tworzących bryłę sześcio-ośmiościanu (równowagę wektorową) w 3D.  Gdzie one są? Otóż jedna płaszczyzna jest równoległa do horyzontu, druga leży w płaszczyźnie twego monitora/kartki, trzecia i czwarta nachylone są w prawo i w lewo pod kątem 60 stopni do horyzontu).
W ten sposób, w trzech wymiarach (3D) otrzymujemy osiem czworościanów foremnych zwróconych swymi wierzchołkami do środka, które zbiegając się w ten sposób tworzą sześć piramidek o podstawie kwadratu także zwróconych swymi wierzchołkami do środka (obrazek po prawej).

Dodam jeszcze dla formalności, że sześcio-ośmiościan posiada 12 wierzchołków, 24 krawędzi, 14 ścian (8 trójkątów równobocznych, 6 kwadratów). Jest to bryła dualna z dwunastościanem rombowym.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Sze%C5%9Bcio-o%C5%9Bmio%C5%9Bcian


Nazwa bryły "sześcio-ośmiościanu" bierze się stąd, że bryłę tą można otrzymać ŚCINAJĄC wierzchołki zarówno sześcianu jak i ośmiościanu, co widać na poniższym obrazku, gdzie mamy sześcio-ośmiościan wpisany w sześcian (po lewej) i w ośmiościan (po prawej).

Animacja ścinania wierzchołków ośmiościanu aż do uzyskania sześcio-ośmiościanu

oraz powrót do bryły wyjściowej - ośmiościanu.

Animację wykonał Lucyfer z  forum o świętej geometrii na podstawie animacji
ze strony http://virtualmathmuseum.org/Polyhedra/index.html Dziękuję! :)

Dziękuję! :)

Ośmiościan możemy uzyskać ścinając wierzchołki czworościanu.

 

Jitterbug, czyli taniec "równowagi wektorowej" Richarda Bucminster Fullera.

Jitterbug to nazwa tańca akrobatycznego i w naszym kontekście jest to po prostu metafora opisująca przekształcenia w obrębie sześcio-ośmiościanu - równowagi wektorowej.
Otóż szczególna właściwość sześcio-ośmiościanu (równowagi wektorowej) Buckminster Fullera polega na tym, że można go przekształcać według określonego wzoru i otrzymując kolejno dwudziestościan, ośmiościan i czworościan, czyli trzy z pięciu brył platońskich.  Dan Winter w filmie "Purpose of DNA"  bawi się widoczną na poniższej animacji zabawką pokazując taniec Jitterbug, czyli to  w jaki sposób wyjściowy sześcio-ośmiościan przekształca się w dwudziestościan, ośmiościan i na końcu czworościan.

Jitterbug - od sześcio-ośmiościanu do czworościanu.

Jitterbug - faza sześcio-ośmiościan <=> ośmiościan


To samo na statycznych obrazkach:

a) sześcio-ośmiościan, b) dwudziestościan, c) zobrazowanie fazy przejściowej (bez jakiejś szczególnej geometrii) d) ośmiościan

Opis powyższego rysunku: "Taniec Jitterbug" zaczyna się od  równowagi wektorowej sześcio-ośmiościanu. (Wyjściowy sześcio-ośmiościan składa się z 24 wektorów (krawędzi) połączonych ze sobą gumowymi złączkami". W trakcie przekształcenia NIC nie jest tutaj odjęte ani dodane. Te same 24 krawędzie tworzą kolejne figury. Generalnie sześcio-ośmiościan przekształca się w ośmiościan i czworościan. Jednakże niejako "po drodze" pojawia się dwudziestościan jako faza przejściowa pomiędzy równowagą wektorową (szościo-ośmiościanem) i ośmiościanem . Jego kształt wyznacza jednak tylko 12 wierzchołków sześcio-ośmiościanu. Brakuje tu bowiem pewnych krawędzi, które posiada dwudziestościan. Nie można ich  jednak sztucznie  wstawić, gdyż unieruchomiłoby to naszego "tancerza". Niemniej w tej nieco okrojonej formie kształt dwudziestościanu pojawia się jako faza przejściowa  między sześcio-ośmiościanem i ośmiościanem, co sugeruje przynależność dwudziestościanu do nieco innego porządku geometrycznego. Warto też zwrócić  uwagę na fakt, że w w naszym tańcu zmienia się tylko kształt wyjściowych kwadratów, a kształt trójkątów pozostaje bez zmian.

Tańcząc dalej, nasza bryła wyjściowa zmienia się (kurczy) w ośmiościan, który następnie rozpłaszcza się (robi szpagat  ;) aby - ostatecznie - przekształcić się w czworościan - najprostszą bryłę z możliwych:

Zobacz jak wyglądają kroki taneczne do Swing Dance - Jitterbug Routine

http://www.5min.com/Video/Swing-Dance---Jitterbug-Routine-149485143

ORYGINALNY rysunek wg Buckminster Fullera wraz z opisem

http://www.rwgrayprojects.com/synergetics/plates/figs/plate04z.html


Reasumując, taniec Jitterbug operuje wektorami sześcio-ośmiościanu, które przekształcają się czy reorganizują  w inne systemy (kształty, bryły) które na poziomie fizycznej czy chemicznej manifestacji dają różne fizyczne i chemiczne właściwości.  Można to sobie odnieść do kształtów różnych cząsteczek chemicznych, które dzięki owym "różnicom kształtów" dają nam substancje o różnych właściwościach.  Ostatecznie  i nieco upraszczając tak właśnie wygląda świat  z perspektywy świętej geometrii -- RÓŻNICE JAKOŚCIOWE, które obserwujemy w świecie są konsekwencją różnic w kształtach i zawartych w nich proporcji. Wyjściowa, jednorodna substancja wszechświata organizuje się więc według geometrycznych wzorów, dając nam wielkie zróżnicowanie świata w którym żyjemy.

 


 

Torus i alfabet

Toroid jest to bryła geometryczna w kształcie pierścienia. Powstaje poprzez obrót dowolnej figury geometrycznej (prostokąta, okręgu, trójkąta) dookoła osi leżącej poza tą figurą. Jeśli obracaną figurą jest okrąg, wówczas powstała bryła nosi nazwę torusa. Jeśli obracany jest prostokąt, powstaje rura cylindryczna.


c.d.n.

Torus jest jednym z fundamentalnych kształtów podtrzymujących  wszechświat w istnieniu. W końcu wszystko we wszechświecie wiruje... ;)


http://goldenmean.info/dnaring/

.

Torusy posiadają różne kształty. Nas interesować będzie tutaj gównie torus posiadający taki kształt, który pozwoli na opisanie na nim złotej spirali. Dzięki temu zabiegowi możliwe będzie tworzenie alfabetów... Poniżej animacja Złotej Spirali na Torusie.

 

Spirala (wir) porusza się ruchem dośrodkowym, a następnie przechodzi w ruch odśrodkowy ("kompresja" - "dekompresja" albo "pakowanie" - "rozpakowanie"), aby następnie niejako po okręgu powrócić i znów stać się ruchem dośrodkowym... i tak w nieskończoność. Można powiedzieć, że torus jest obrazem nieskończoności, nieustannego ruchu.

Jeśli przyjąć, że istnieją prawdziwe symbole, czyli takie, których kształt odpowiada kształtowi jakiegoś elementu "boskiej kreacji", to niewątpliwie torus miałby tutaj swoją symbolikę. Obrazują to choćby lemniskata jako symbol nieskończoności i symbol Yin - Yang

Lemniskata jest dwuwymiarowym obrazem (przekrojem) trójwymiarowego torusa.

Lemniskata
Torus, a dokładniej schemat przedstawiający pulsar. Niebieska kulka to gwiazda neutronowa, białe linie to linie pola magnetycznego, zielona linia to oś obrotu, a niebieski promień to sygnał emitowany przez pulsar.
Pulsar jest gwiazdą neutronową wysyłającą w niewielkich i regularnych odstępach czasu impulsy promieniowania elektromagnetycznego - najczęściej radiowe.
Więcej
 
Torusowe "halo" wokół galaktyki.
di YO89

 Torus przecięty na pół, obrazujący przepływ energii.

Torus (wpisany w okrąg) i symbol Yin - Yang

Jako, że jednym z bohaterów mojej strony jest Nassim Haramein, zamieszczam animację jego podwójnego torusa, którego sens i znaczenie omówione zostało w drugiej części jego wykładu Przekroczyć Horyzont zdarzeń.

Podwójny torus Nassima Harameina i przepływ energii na Ziemi.

di EM3V

Źródło

Można powiedzieć, że torus posiada także naturę fraktalną o której mówi w swoich wykładach Dan Winter.


Źródło

 

Dzięki fraktalnej naturze torusa możliwe jest według Wintera  elektromagnetyczne "osadzanie się" człowieka wśród ludzi i w środowisku a nawet większych obszarach rzeczywistości. Na rysunku poniżej widać elektromagnetyczne pole toroidalne serca. Pole magnetyczne standardowo rozciąga się wokół osoby na odległość do kilku metrów. Według badań Instytutu Matematyki Serca (Institute of HeartMath) ludzkie serce jest najsilniejszym generatorem elektrycznego i magnetycznego pola w organizmie. Jest to ważne, ponieważ zawsze uczono nas, że to mózg odpowiada za wszystko, podczas gdy pola elektryczne i magnetyczne mózgu, są stosunkowo słabe w porównaniu do analogicznych pól serca. Serce jest około 60 razy silniejsze elektrycznie i około 5000 razy silniejsze magnetycznie od mózgu. Pole magnetyczne serca można wykryć już z odległości kilku metrów od osoby. Pomiary wskazują, że u człowieka znajdującego się pod wpływem pozytywnych i harmonijnych uczuć i emocji pole elektromagnetyczne serca korzystnie wpływa na jego procesy myślowe - wyostrza się nasza percepcja oraz wzrasta klarowność i intuicyjny odbiór innych osób i środowiska.

Pole elektromagnetyczne serca.


Pola elektromagnetyczne serca przenikają się wzajemnie i wpływają na siebie.

Źródło opisu obrazków (w j. angielskim) pochodzi z książki "Science of The Heart" rozdz 4: Head-Heart Interactions

Źródło obrazka

 

KRWINKI CZERWONE (fragment z artykułu o Świętym Graalu)

roza2

Krwinki czerwone stanowią główny składnik krwi. Ich kształt jest stały dla danego gatunku. U człowieka oraz innych ssaków normalne czerwone krwinki są okrągłe i dwuwklęsłe. Innymi słowy mają one kształt torusa. We krwi można spotkać także krwinki innego kształtu, ale oznacza to stan chorobowy, np. sierpowate krwinki w anemii sierpowatej.

O związku torusa ze złotą spiralą i alfabetem przeczytasz w dwóch miejscach:

Wątek o świętym języku, symbolach i DNA (opis do wykładu Dana Wintera w Barcelonie z lutego 2009r)

oraz  Język aniołów jako rezydua plazmy ;) (opis do wykładu Dana Wintera: Implozja - sekretna nauka ekstazy i nieśmiertelności)

 



Fraktale

Fraktal (łac. fractus – cząstkowy, złamany) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny tzn. taki, którego części powtarzają się w różnej skali w tym samym obiekcie.(...) Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoita Mandelbrota w latach siedemdziesiątych XX wieku. Dzięki jego odkryciom zastosowano fraktale do opisu takich obiektów jak linie brzegowe, chmury, drzewa czy błyskawice. Geometrię fraktalną wykorzystuje się dzisiaj w wielu dziedzinach  - zobacz film "Ukryty wymiar - fraktale" (jest poniżej). Dan Winter uczynił z zasady fraktalności opartej na Złotym Podziale podstawę swojej twórczości, wynalazków i odpowiedzi na pytanie "Czym jest święty Graal?"...  :)

Więcej: http://pl.wikipedia.org/wiki/Fraktal

Zbiór Mandelbrota 

fractal


 

mikro makro 


Zasada samopodobieństwa pozwala nam uznać komórkę mózgową za fraktalną wobec innych elementów wszechświata. Podobnie elektrony krążące wokół jądra atomu możemy uznać za fraktalne względem planet krążących wokół jakiejś gwiazdy. Generalna zasada mówi tu, że obiekt ma budowę fraktalną jeśli większe elementy obiektu różnią się od mniejszych jedynie skalą (wielkością), a ich kształt zachowuje w różnych skalach te same proporcje. 

Fraktalna rosyjska babuszka ;)

russian dolls

Dwa odcinki składające się na kąt prosty tworzą (według
fraktalnego samopodobieństwa) coś na kształt smoka... ;)
smok 2 OK
Źródło: http://virtualmathmuseum.org/Fractal/index.html

 

Ciekawym i znaczącym przykładem fraktala są włókna Purkiniego

Więcej o włóknach Purkiniego jest TUTAJ (na dole strony)

O tym jaki sposób zasada fraktalności łączy ze sobą nieskończoność i granice (obszary rzeczywistości)...

Fragment wykładu Nassima Harameina "Przekroczyć Horyzont Zdarzeń" cześć 1.0 (21-26 min.)

Cały wykład Nassima

PODYSKUTUJ NA FORUM

 

Polecam film "Ukryty wymiar - fraktale".

Fraktale są wszędzie. Ich nieregularne kształty można znaleźć w formacjach chmur i koronach drzew, w kwiatach brokuł, pofałdowanych pasmach górskich, a nawet w ludzkim sercu. Fraktale, inaczej obiekty samopodobne, to nie tylko ładne obrazki. Od stuleci były poza granicami matematycznego zrozumienia. Dziś naukowcy zaczynają dotykać tego zdumiewającego zjawiska. Ich odkrycia pozwalają głębiej zrozumieć naturę, stymulują nowe trendy w nauce, medycynie, sztukach artystycznych, ekologii, a nawet w modzie.

.

Fragmenty filmu "The Code: Shapes"

Wybrane przez Wojciecha Luciejewskiego fragmenty filmu "The Code: Shapes" pokazują jakie geometryczne kształty stosuje natura, by zużywając jak najmniej energii uzyskiwać najlepsze rezultaty. Autor stara się dowieść, że świat minerałów, ale również kształt pszczelich plastrów miodu, baniek mydlanych, protein i wirusów, różne przejawy fauny i flory, podlegają tym samym prawom minimalizacji użycia energii i maksymalizacji efektu.

 

Geometria Fraktalna w działaniu cz. 1/2

Geometria Fraktalna w działaniu cz. 2/2 


.
                                                            Playlista ww filmu na YouTube 

 


Zobacz też krótki wykład

Ron Eglash - Afrykańskie fraktale [PL]

 

 

Brytyjscy naukowcy odkrywają „tajne przekazy” ukryte w starożytnych tekstach Platona
http://www.swietageometria.info/artykuly/168-brytyjscy-naukowcy-odkrywaj-tajne-przekazy-ukryte-w-staroytnych-tekstach-platona

HEADER 

#81 piotr 2017-04-09 15:15
:-) :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi
#82 Marzanna 2017-06-09 13:52
SUPER dziekuje :-) uwielbiam te wiedze
Cytuj Zgłoś administratorowi
#83 .Leszek 2017-06-13 11:48
Cytuję Marzanna:
SUPER dziekuje :-) uwielbiam te wiedze

You're welcome! :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi
#84 Krystyna 2017-07-12 15:33
Chcialabym sie dowiedziec czy to ma wplyw na relacje w partnerstwie dziekuje!
Cytuj Zgłoś administratorowi
#85 .Leszek 2017-07-12 16:07
Cytuję Krystyna:
Chcialabym sie dowiedziec czy to ma wplyw na relacje w partnerstwie dziekuje!

Uściślij, o co konkretnie pytasz?
Cytuj Zgłoś administratorowi
#86 ewe 2017-07-14 14:03
Prawdy o kwiecie życia: www.youtube.com/watch?v=dqz9P_lv-CM
Cytuj Zgłoś administratorowi
#87 emil 2017-09-11 17:20
Dziękuję :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi
#88 .Leszek 2017-09-15 21:22
Cytuję emil:
Dziękuję :-)

Proszę bardzo :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi

Dodaj komentarz