Google Translator

enfrdeitptrues

Ostatnie komentarze

  • Meridith
    Greetings! Very useful advice in this particular post! It's the little changes ...

    Więcej...

     
  • Rebekah
    Hello, constantly i used to check weblog posts here in the early hours in the ...

    Więcej...

     
  • Dave
    Hi there! This article could not be written much better! Going through this article ...

    Więcej...

     
  • .Leszek
    Proszę bardzo :-)

    Więcej...

     
  • emil
    Dziękuję :-)

    Więcej...

Gościmy

Odwiedza nas 108 gości oraz 0 użytkowników.

Odsłon artykułów:
1948809

 

Bryły platońskie  - stellacje, duale, inne przekształcenia

 

Stellacja, czyli rozgwieżdżanie

Pod pojęciem stożkowania (ang. stellation, w języku polskim używa się też czasem określenia "rozgwieżdżanie" lub "stellacja") należy rozumieć proces przedłużania ścian danego wielościanu aż do ich ponownego przecięcia. W wyniku stożkowania na bazie wyjściowego wielościanu powstają nowe wielościany, których ściany przecinając się, tworzą gwiaździstą strukturę. Pod pojęciem stożkowania można rozumieć również wielościan powstały w wyniku wspomnianego procesu.

Mówi się także o stellacji dwuwymiarowej, czyli rozgwieżdżaniu wielokątów na płaszczyźnie. Dwa poniższe przykłady - pięciokąta i sześciokąta foremnego obrazują ideę rozgwieżdżania wielokątów na płaszczyźnie poprzez przedłużanie ich boków.

Stellacja (przedłużanie boków) pięciokąta foremnego tworzy pentagram.

Stellacja (przedłużanie boków) sześciokąta foremnego tworzy heksagram.

Stellacje (stożkowania) brył platońskich

Brył platońskich jest pięć, ale w zależności od stopnia skomplikowania swojej budowy, mogą nie mieć wcale, mogą mieć kilka, kilka lub nawet kilkadziesiąt możliwych stożkowań.

Czworościan foremny i sześcian nie mają żadnych stożkowań. Przedłużanie ich ścian lub krawędzi nie daje nowych przecięć.

Stellacja ośmiościanu foremnego (rys. 1).

Trzy ściany otaczające daną ścianę po przedłużeniu utworzą nad nią czworościan foremny (rys. 2).

Rys. 1                              Rys. 2

Zastosowanie tego procesu do wszystkich ścian prowadzi do formy gwiaździstej ośmiościanu (rys. 3 i 4). Jest to stella octangula - znana kompozycja dwóch czworościanów foremnych (rys. 3 i 4). Sama nazwa stella octangula (gwiazda ośmioramienna) znana jest od czasów Keplera. Jednak bryłę tą znano już wcześniej. Po raz pierwszy opisał ją w 1509 roku w swoim dziele De divina proportione  (boska proporcja) Luca Pacioli, a jej pierwszy "portret" wyszedł spod ręki Leonarda da Vinci. Wtedy nazywano ją  octaedron elevatus (ośmiościan dobudowany), gdyż można ją otrzymać także w wyniku doklejenia czworościanu foremnego do każdej ściany ośmiościanu foremnego.

 


Rys. 3                                              Rys. 4                      

Stellacja dwunastościanu foremnego (rys. 5). Pierwszy krok to zbudowanie piramid nad każdą ścianą tego wielościanu (rys. 6). W wyniku tego powstanie wielościan, którego ściany są pentagramami (rys. 7), będący jednym z wielościanów Keplera-Poinsota (to dwunastościan gwiaździsty mały).

Pierwszy krok to zbudowanie piramid nad każdą ścianą tego wielościanu (rys. 6). W wyniku tego powstanie wielościan, którego ściany są pentagramami (rys. 7), będący jednym z wielościanów Keplera-Poinsota (to dwunastościan gwiaździsty mały).

Rys. 5                            Rys. 6                          Rys. 7

 Uzupełnienie pentagramów do pięciokątów foremnych prowadzi do kolejnego stożkowania dwunastościanu. Otrzymujemy kolejny wielościan Keplera-Poinsota - dwunastościan wielki (rys. 8). W ostatnim kroku możemy przedłużyć trzy ściany otaczające każde z trójściennych zagłębień (rys. 9). W wyniku tego otrzymamy ostatnią gwiaździstą formę dwunastościanu (rys. 10). Również i ten wielościan jest jednym z wielościanów Keplera-Poinsota (to dwunastościan gwiaździsty wielki).

Rys. 8                            Rys. 9                        Rys. 10

Do przedstawiania stożkowań używa się specjalnego diagramu, pokazującego efekt kolejnego przedłużania krawędzi zadanej ściany wyjściowego wielościanu. Diagram ten dla dwunastościanu foremnego wygląda tak, jak na rys. 11. Liczba 0 oznacza ścianę bryły wyjściowej, 1 to ściana dwunastościanu gwiaździstego małego, 2 - dwunastościanu wielkiego i wreszcie 3 - dwunastościanu gwiaździstego wielkiego.


Rys. 11

Pozostał problem stożkowania ostatniego z wielościanów platońskich - dwudziestościanu foremnego (rys. 12). Pierwszy krok można wykonać stosunkowo łatwo. Podobnie jak wcześniej nad każdą ze ścian powstanie ostrosłup. Kąt dwuścienny między ścianami dwudziestościanu ma stosunkowo dużą miarę (około 138,19°), więc ostrosłupy te będą dość płaskie. Ich ściany będą nachylone do podstawy pod kątem około 41,81° (dlaczego?). Cały wielościan gwiaździsty będzie składał się z 20 nieforemnych sześciokątów (rys. 13, 14).

Rys. 12                           Rys. 13                          Rys. 14

Przedłużenie tych ścian w odpowiedni sposób daje kolejną stellację dwudziestościanu (rys. 15). Tym razem ściany są układami dwóch trójkątów równobocznych (rys. 16), a cała bryła jest kompozycją 5 ośmiościanów foremnych (rys. 17).

Rys. 15                           Rys. 16                          Rys. 17

Źródło: http://www.matematyka.wroc.pl/book/co-to-jest-sto%C5%BCkowanie-2

 

 

Platońskie wielościany jako duale.

Wielościany foremne (platońskie) można pogrupować w dualne pary, z wyjątkiem czworościanu foremnego, który jest dualny sam ze sobą. Dualami są dla siebie sześcian i ośmiościan foremny oraz dwunastościan i dwudziestościan foremny.
Definicyjnie, wielościan foremny jest dualem dla innego wielościanu foremnego wtedy, gdy łącząc liniami prostymi środki ścian jednego wielościanu, otrzymamy wierzchołki drugiego wielościanu.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_dualny

 

Inne przekształcenia brył platońskich

Animacje wykonał Lucyfer z  forum o świętej geometrii na podstawie animacji
ze strony http://virtualmathmuseum.org/Polyhedra/index.html Dzięki! :)

 

Czworościan - sześcian - czworościan
tetra cube

Ośmiościan - sześcio-ośmiościan - ośmiościan
cube cube octa transform
Sześcian - dwunastościan - sześcian
dodeca cube transform

 

PODYSKUTUJ NA FORUM

HEADER 

#81 piotr 2017-04-09 15:15
:-) :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi
#82 Marzanna 2017-06-09 13:52
SUPER dziekuje :-) uwielbiam te wiedze
Cytuj Zgłoś administratorowi
#83 .Leszek 2017-06-13 11:48
Cytuję Marzanna:
SUPER dziekuje :-) uwielbiam te wiedze

You're welcome! :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi
#84 Krystyna 2017-07-12 15:33
Chcialabym sie dowiedziec czy to ma wplyw na relacje w partnerstwie dziekuje!
Cytuj Zgłoś administratorowi
#85 .Leszek 2017-07-12 16:07
Cytuję Krystyna:
Chcialabym sie dowiedziec czy to ma wplyw na relacje w partnerstwie dziekuje!

Uściślij, o co konkretnie pytasz?
Cytuj Zgłoś administratorowi
#86 ewe 2017-07-14 14:03
Prawdy o kwiecie życia: www.youtube.com/watch?v=dqz9P_lv-CM
Cytuj Zgłoś administratorowi
#87 emil 2017-09-11 17:20
Dziękuję :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi
#88 .Leszek 2017-09-15 21:22
Cytuję emil:
Dziękuję :-)

Proszę bardzo :-)
Cytuj Zgłoś administratorowi

Dodaj komentarz